《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

22. (本小题满分8分)
古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”进行了相关研究。数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图，正八边形游乐城$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}A_{7}A_{8}$的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2} km$，南门$O$设立在$A_{6}A_{7}$边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路$BM$，$A_{6}A_{7}$在$BM$上(门宽及门与道路间距离忽略不计)，东侧有一条南北走向的道路$BC$，$C$处有一座雕塑，在$A_{1}$处测得雕塑在北偏东$45^{\circ}$方向上，在$A_{2}$处测得雕塑在北偏东$59^{\circ}$方向上。(结果精确到0.1 km，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sin76^{\circ}\approx0.97$，$\tan76^{\circ}\approx4.00$，$\sin59^{\circ}\approx0.86$，$\tan59^{\circ}\approx1.66$)
(1)$\angle CA_{1}A_{2}=$90°，$\angle CA_{2}A_{1}=$76°；
(2)求点$A_{1}$到道路$BC$的距离。

答案： 22.解:
(1)90° 76° ……2分
(2)过点A₁作A₁D⊥BC,垂足为D.
∵A₁A₈⊥BM,BC⊥BM,
∴A₁A₈//BC,
∴A₁D⊥A₁A₈.
∵在A₁处测得雕塑在北偏东45°方向上,
∴∠CAD = 45°.在Rt△CA₂A₁中,A₂A₁ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$km,∠CA₂A₁ = 76°,
∴CA₁ = A₁A₂·tan76°≈$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4.00 = 2√2(km).
∴A₁D = CA₁·cos45° = 2√2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 2.0(km).答:点A₁到道路BC的距离约为2.0km. ……8分