《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

8. (2025·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，$\triangle OAB$的顶点坐标分别是$O(0,0)$，$A(2,1)$，$B(1,2)$，以原点$O$为位似中心，在第三象限画$\triangle OA'B'$与$\triangle OAB$位似.若$\triangle OA'B'$与$\triangle OAB$的相似比为$2:1$，则点$A$的对应点$A'$的坐标为(B)

A.$(-2,-1)$
B.$(-4,-2)$
C.$(-1,-2)$
D.$(-2,-4)$

答案： 8.B 解析:本题考查位似.
∵△OA'B'与△OAB 位似，位似中心为原点O，相似比为2:1，
∴OA:OA' = 1:2.
∵A(2,1)，
∴A'(-4,-2). 故选B.

9. (2025·安徽)已知一次函数$y = kx + b(k \neq 0)$的图象经过点$M(1,2)$，且$y$随$x$的增大而增大.若点$N$在该函数的图象上，则点$N$的坐标可以是(D)

A.$(-2,2)$
B.$(2,1)$
C.$(-1,3)$
D.$(3,4)$

答案： 9.D 解析:本题考查一次函数的性质.
∵对于y = kx + b，y随x的增大而增大，
∴若点(x₁,y₁)，(x₂,y₂)在该函数图象上，则当x₁＜x₂时，y₁＜y₂.
∵点M(1,2)在该函数图象上，
∴四个选项中，只有点(3,4)符合题意. 故选D.

10. (2025·天津)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，将$\triangle ABC$绕点$A$顺时针旋转得到$\triangle AB'C'$，点$B$，$C$的对应点分别为$B'$，$C'$，$B'C'$的延长线与边$BC$相交于点$D$，连接$CC'$.若$AC = 4$，$CD = 3$，则线段$CC'$的长为(D)

A.$\frac{12}{5}$
B.$\frac{16}{5}$
C.4
D.$\frac{24}{5}$

答案： 10.D 解析:本题考查旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理. 连接AD交CC'于点O，由旋转的性质得AC' = AC = 4，∠AC'B' = ∠ACB = 90°，
∴∠AC'D = 90°. 在Rt△AC'D和Rt△ACD中，$\begin{cases} AD = AD, \\ AC' = AC, \end{cases}$
∴Rt△AC'D ≌ Rt△ACD(HL)，
∴C'D = CD = 3，
∴AD垂直平分CC'，
∴CC' = 2OC，AD⊥CC'.
∵∠ACB = 90°，AC = 4，CD = 3，
∴AD = $\sqrt{AC^{2} + CD^{2}} = 5$.
中考试题汇编数学
∵$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}AD · OC = \frac{1}{2}AC · CD$，
∴$OC = \frac{AC · CD}{AD} = \frac{4 × 3}{5} = \frac{12}{5}$，
∴$CC' = 2 × \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$. 故选D.

11. (2025·四川遂宁)若关于$x$的分式方程$\frac{3 - ax}{2 - x} = \frac{a}{x - 2} - 1$无解，则$a$的值为(D)

A.2
B.3
C.0或2
D.-1或3

答案： 11.D 解析:本题考查分式方程. 方程两边同乘(x - 2)，得-(3 - ax) = a - (x - 2)，化简得(a + 1)x = a + 5. 当整式方程无解时，a + 1 = 0，即a = -1，此时分式方程也无解；当$x = \frac{a + 5}{a + 1} = 2$时，解得a = 3，此时x = 2是原分式方程的增根. 综上，a的值为-1或3. 故选D.

12. (2025·四川自贡)如图，正方形$ABCD$的边长为6，以对角线$BD$为斜边作$Rt\triangle BED$，$\angle E = 90^{\circ}$，点$F$在$DE$上，连接$BF$.若$2BE = 3DF$，则$BF$的最小值为(D)

A.6
B.$6\sqrt{2} - \sqrt{5}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$

答案：
12.D 解析:本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、最值问题. 如图，过点D作DG⊥BD，使得DG = 4$\sqrt{2}$，连接GF，则∠FDG + ∠BDE = 90°.
∵∠E = 90°，
∴∠DBE + ∠BDE = 90°，
∴∠FDG = ∠DBE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD = 6，∠A = 90°，
∴BD = 6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{DF}{BE} = \frac{DG}{BD} = \frac{2}{3}$，
∴△DFG ∽ △BED，
∴∠DFG = ∠E = 90°，
∴点F在以DG为直径的圆上，设圆心为O，
∴当点F为线段OB与⊙O的交点时，BF取得最小值.
∵OB = $\sqrt{BD^{2} + OD^{2}} = 4\sqrt{5}$，OF = 2$\sqrt{2}$，
∴BF的最小值为OB - OF = 4$\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$. 故选D.

13. (2025·浙江)$\vert -5\vert + \sqrt[3]{-27} =$2.

答案： 13.2

14. (2025·山东东营)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积$=\frac{1}{2}$(弦$×$矢$+$矢$^{2}$)，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长$AB$，“矢”等于半径长与圆心$O$到弦的距离之差.在如图所示的田中，“弦”为8，“矢”为2，则$\cos\angle OAB$的值为$\frac{4}{5}$.

答案：
14.$\frac{4}{5}$ 解析:本题考查垂径定理、勾股定理、锐角三角函数. 如图，OC⊥AB于点H，由题意，得AB = 8，CH = 2. 设OA = OC = x，
∴OH = x - 2.
∵OH⊥AB，
∴AH = BH = $\frac{1}{2}AB = 4$. 在Rt△OAH中，由勾股定理，得$AH^{2} + OH^{2} = OA^{2}$，
∴$4^{2} + (x - 2)^{2} = x^{2}$，解得x = 5，
∴OA = 5，
∴$\cos \angle OAB = \frac{AH}{OA} = \frac{4}{5}$.