《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

20. （本小题满分8分）
情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1、图2，一水槽放置在水平面上，射灯支架$OA$垂直于水平面，射灯$AB$发出垂直于$AB$的光线，$OA$和$AB$的夹角$\alpha = 130^{\circ}$，$AB = 12cm$。
操作 嘉嘉进行了两步实验操作：
①如图1，光线投射到空水槽底部$CD$处。
②如图2，向水槽注水，光线投射到水面$MN$处，然后发生折射，最后投射到底部$EF$处。
探究 （1）请求出$CD$的长（结果保留一位小数）；
（2）在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求$EF$的长，淇淇认为不需知道折射角的度数就可以求$EF$的长。你认为谁的看法正确？并写出理由。
（参考数据：$\sin40^{\circ}\approx0.643$，$\cos40^{\circ}\approx0.766$，$\tan40^{\circ}\approx0.839$）

答案： 20.解:
(1)如图1，过点$C$作$CG \perp BD$于点$G$，可知四边形$ABGC$是矩形。\n$\therefore CG = AB = 12cm$。\n可知$\angle OAC = \alpha - \angle BAC = 130^{\circ} - 90^{\circ} = 40^{\circ}$，\n$\therefore \angle ACO = 90^{\circ} - \angle OAC = 50^{\circ}$，\n$\therefore \angle GCD = 40^{\circ}$。\n$\therefore CD = \frac{CG}{\cos\angle GCD} = \frac{12}{\cos40^{\circ}} \approx \frac{12}{0.766} \approx 15.7(cm)$。\n4分\n
(2)淇淇的看法正确。\n理由如下:如图2，分别延长$AM$，$BN$交底部于点$C$，$D$。\n由题意得$MN // CD$，$MC // ND$，\n$\therefore$四边形$MNDC$是平行四边形。\n$\therefore MN = CD$。\n同理可得$MN = EF$。\n$\therefore EF = CD \approx 15.7cm$。\n8分