《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

24. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = -x² + bx + c经过点A(0，3)，B(6，3)，顶点为P. 抛物线y = a(x - 3)² + d（a ＜ 0）经过点C($\frac{1}{2}$，2). 两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L₁，L₂.
（1）求b，c的值及点P的坐标.
（2）点D在L₁上，到x轴的距离为$\frac{23}{4}$，判断L₂能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由.
（3）直线AE：y = kx + n（k ＞ 0）交L₁于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半.
①若点E与点P重合，点M恰好落在L₂上，求a的值；
②若点M为直线AE与L₂的唯一公共点，请直接写出k的值.

答案： 24.解:
(1)将$A(0,3)$,$B(6,3)$分别代入$y=-x^{2}+bx + c$中,得$\begin{cases}c = 3\\-36 + 6b + c = 3\end{cases}$,解得$\begin{cases}b = 6\\c = 3\end{cases}$,$\therefore$抛物线$L_{1}$的解析式为$y=-x^{2}+6x + 3=-(x - 3)^{2}+12$,$\therefore$顶点$P$的坐标为$(3,12)$.
(2)不能. $\because$点$D$在$L_{1}$上,到$x$轴的距离为$\frac{23}{4}$,$\therefore -(x - 3)^{2}+12=\frac{23}{4}$,解得$x_{1}=\frac{1}{2}$,$x_{2}=\frac{11}{2}$,$\therefore$点$D$的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{23}{4})$或$(\frac{11}{2},\frac{23}{4})$.
$\because L_{2}$过点$C(\frac{1}{2},2)$,且对称轴为$x = 3$,$\therefore L_{2}$经过点$C(\frac{1}{2},2)$和点$(\frac{11}{2},2)$,$\therefore L_{2}$不能经过点$D$.
(3)①点$E$与点$P$重合,$\therefore E(3,12)$. $\because$点$M$的横坐标是点$E$横坐标的一半,$A(0,3)$,$E(3,12)$,$\therefore$点$M$是$AE$的中点,$\therefore M(\frac{3}{2},\frac{15}{2})$.将$C(\frac{1}{2},2)$,$M(\frac{3}{2},\frac{15}{2})$代入$y = a(x - 3)^{2}+d$中,得$\begin{cases}a · (\frac{1}{2}-3)^{2}+d = 2\\a · (\frac{3}{2}-3)^{2}+d=\frac{15}{2}\end{cases}$,解得$a=-\frac{11}{8}$.
②$k$的值为$6 - \sqrt{15}$.