《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

25. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点$(x,y)$移动到点$(x + 2,y + 1)$称为一次甲方式；从点$(x,y)$移动到点$(x + 1,y + 2)$称为一次乙方式.
例 点$P$从原点$O$出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点$M(4,2)$；若都按乙方式，最终移动到点$N(2,4)$；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点$E(3,3)$.
（1）设直线$l_{1}$经过上例中的点$M,N$，求$l_{1}$的解析式；并直接写出将$l_{1}$向上平移9个单位长度得到的直线$l_{2}$的解析式；
（2）点$P$从原点$O$出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点$Q(x,y)$.其中，按甲方式移动了$m$次.
①用含$m$的式子分别表示$x,y$；
②请说明：无论$m$怎样变化，点$Q$都在一条确定的直线上.设这条直线为$l_{3}$，在图中直接画出$l_{3}$的图象；
（3）在（1）和（2）中的直线$l_{1},l_{2},l_{3}$上分别有一个动点$A,B,C$，横坐标依次为$a,b,c$.若$A,B,C$三点始终在一条直线上，直接写出此时$a,b,c$之间的关系式.

答案：
25.解：
(1)设直线$l_{1}$的解析式为$y = kx + b(k \neq 0)$.$\because$直线$l_{1}$过点$M(4,2)$,$N(2,4)$,$\begin{cases}2 = 4k + b, \\4 = 2k + b.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1, \\b = 6.\end{cases}$$\therefore$直线$l_{1}$的解析式为$y = -x + 6$.直线$l_{2}$的解析式为$y = -x + 15$.
(2)①由题意，得$x = 2m + (10 - m) = m + 10$,$y = -m + 2(10 - m) = -m + 20$.$\because x + y = (m + 10) + (-m + 20) = 30$,$\therefore y = -x + 30$.$\therefore$点$Q$在直线$y = -x + 30$上.直线$l_{3}$如图所示.
(3)$a$,$b$,$c$之间的关系式为$5a - 8b + 3c = 0$.