《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. （本小题满分11分）
在$Rt\triangle AOC$中，$\angle ACO = 90^{\circ}$，$OA = 5$，$\tan\angle AOC=\frac{3}{4}$。以$O$为原点，直线$CO$为$x$轴建立如图所示的平面直角坐标系。抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$过点$A$，与$x$轴正半轴的交点记为点$B$。
（1）用含$b$的代数式表示$c$；
（2）若点$B$的坐标为$(2,0)$，$M$是抛物线上$AB$段一动点，过点$M$作垂直于$x$轴的直线，交折线段$AO—OB$于点$N$。
①求抛物线的解析式；
②若$M$为抛物线的顶点，求$MN$长；
③若记②中的$MN$长为$d$，当改变点$M$的位置，使得$MN\lt d$，请直接写出满足条件的点$M$横坐标$x_{M}$的取值范围。

答案： 23.解:
(1)$\because \angle ACO = 90^{\circ}$，$\tan\angle AOC = \frac{3}{4}$，\n$\therefore$设$AC = 3x(x ＞ 0)$，则$OC = 4x$。\n$\therefore AC^2 + OC^2 = OA^2 = 25$。\n解得$x = 1$(负值已舍去)。\n$\therefore AC = 3$，$OC = 4$，$\therefore A(-4,3)$。\n将$A(-4,3)$代入$y = - \frac{1}{2}x^2 + bx + c$，\n得$- \frac{1}{2}×(-4)^2 - 4b + c = 3$。\n$\therefore c = 4b + 11$。\n3分\n
(2)①由抛物线经过点$A(-4,3)$，$B(2,0)$，\n得$\begin{cases}-8 - 4b + c = 3 \\ -2 + 2b + c = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}b = - \frac{3}{2} \\ c = 5 \end{cases}$。\n$\therefore$抛物线的解析式为$y = - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + 5$。\n5分\n②该抛物线对称轴为直线$x = - \frac{3}{2}$，\n将$x = - \frac{3}{2}$代入解析式得$y = \frac{49}{8}$。\n$\therefore$该抛物线的顶点坐标为$(- \frac{3}{2},\frac{49}{8})$。\n7分\n设直线$OA$的解析式为$y = kx(k \neq 0)$。\n由直线$OA$过点$A(-4,3)$，得$k = - \frac{3}{4}$。\n$\therefore$直线$OA$的解析式为$y = - \frac{3}{4}x$。\n8分\n当$x = - \frac{3}{2}$时，$y = - \frac{3}{4}×(- \frac{3}{2}) = \frac{9}{8}$，\n$\therefore MN = \frac{49}{8} - \frac{9}{8} = 5$。\n9分\n③$-4 \leqslant x_M ＜ - \frac{3}{2}$或$0 ＜ x_M \leqslant 2$。\n11分