《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

24. (2025·山西)（本小题满分12分）
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线。我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合。
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面$60cm$，起跳点与落地点的距离为$160cm$。
数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线$l$，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M。以O为原点，OM所在直线为$x$轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
(1)请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。
(2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为$(0,75)$，点Q在$x$轴的正半轴上，求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；
(3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于$3cm$，才能安全通过。如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中$\angle ABC=\angle BCD = 90^{\circ}$，$AB = 57cm$，$BC = 40cm$，$CD = 48cm$。仿青蛙机器人从距离AB左侧$80cm$处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物。若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物。请直接写出该平台的高度。（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）

答案： 24.解:
(1)顶点N的坐标为(80,60). 1分 设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 80)^2 + 60(a≠0). $由题意，得点M的坐标为(160,0). 将点M(160,0)代入$y = a(x - 80)^2 + 60，$ 得$0 = a(160 - 80)^2 + 60. $解得$a = -\frac{3}{320}. $
∴抛物线的函数表达式为$y = -\frac{3}{320}(x - 80)^2 + 60. 5$分
(2)由题意，得过点P的抛物线是由
(1)中的抛物线沿直线l向上平移得到的，顶点为(80,135)，
∴其表达式为$y = -\frac{3}{320}(x - 80)^2 + 135. 7$分 当y = 0时，$-\frac{3}{320}(x - 80)^2 + 135 = 0. $解得$x_1 = 200，$$x_2 = -40($不符合题意，舍去). 9分
∴点Q的坐标为(200,0).
∴起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm. 10分
(3)6 cm. 12分