《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

23. （本小题满分10分）
如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面O点上方1m的A处开出一高球（点A在y轴上），球的运动路线可看作抛物线$L_1$。运动员甲在距O点6m的B处发现球在自己的正上方达到最高点，最高点M距地面4m。球在下落至距地面2m时被运动员乙（点E）跳起后头顶触球（点C），弹起后的运动路线看作抛物线$L_2$，$L_2$与$L_1$形状相同，且最大高度为3m。
（1）求抛物线$L_1$的表达式（不写x的取值范围），并求运动员乙（点E）到守门员（点O）的距离（结果保留根号）；
（2）求抛物线$L_2$的对称轴（结果保留根号）；
（3）运动员甲（点B）要抢到落点D，直接写出他应再向前跑多少米？（结果精确到1m。参考数据：$2\sqrt{3}$取3.5，$2\sqrt{6}$取5）

答案： 23.解:
(1)根据题意,可设抛物线$L_1$的表达式为$y=a(x - 6)^2+4(a≠0)$.
将A(0,1)代入,得36a + 4 = 1.
解得a = $-\frac{1}{12}$.
∴抛物线$L_1$的表达式为y = $-\frac{1}{12}(x - 6)^2+4$. 2分
当y = $-\frac{1}{12}(x - 6)^2+4 = 2$时,
解得$x_1=6 + 2\sqrt{6}$,$x_2=6 - 2\sqrt{6}$.
∵运动员乙在点B的右侧,
∴乙到守门员的距离为$(6 + 2\sqrt{6})$m. 4分
(2)由
(1),得C$(6 + 2\sqrt{6},2)$.
∵$L_2$与$L_1$形状相同,且最大高度为3m,
∴可设抛物线$L_2$的表达式为y = $-\frac{1}{12}(x - h)^2+3$.
将C$(6 + 2\sqrt{6},2)$代入,
得$-\frac{1}{12}(6 + 2\sqrt{6}-h)^2+3 = 2$.
解得$h_1=6 + 2\sqrt{6}+2\sqrt{3}$,$h_2=6 + 2\sqrt{6}-2\sqrt{3}$(舍去).
∴抛物线$L_2$的对称轴为直线x = $6 + 2\sqrt{6}+2\sqrt{3}$. 8分
(3)运动员甲要抢到落点D,他应再向前跑14.5m. 10分