《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

24. (本小题满分12分)
如图,在△ABC中,AB = AC,∠BAC = 90°,BC = 16,M为AC的中点,过点A作AD⊥BC于点D,E为腰AC上一动点,连接DE,以DE为斜边向左上方作等腰直角三角形DEF,连接AF.
(1)当点F落在线段AD上时,求证:AF = EF;
(2)在点E的运动过程中,若S△DEF = 9,求线段CE的长;
(3)在点E的运动过程中,
①直接写出点F运动的路径长;
②若AF = 5,直接写出线段AE的长.

答案：
24.
(1)证明：
∵AB=AC,∠BAC=90°,AD⊥BC，
∴∠CAD=45°. 1分
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EFD=∠AFE=90°.
∴∠AEF=180°-∠CAD-∠AFE=45°.
∴∠EAF=∠AEF. 3分
∴AF=EF. 4分
(2)解：①如图1，连接DM.
　　　　　　
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=45°.
∵AD⊥BC，BC=16，
∴AD=CD=8.
∴AC=8√2.
∵M是AC的中点，
∴DM⊥AC,DM=CM=4√2.
∵△DEF是等腰直角三角形，S△DEF=9，
∴DF=EF=3√2.
∴DE=6. 6分
∴EM= $\sqrt{DE²-DM²}$=2.
∴CE=4√2+2. 8分
②如图2，同理可得CE=4√2-2.
　　　　　　
综上，CE的长为4√2+2或4√2-2. 9分
(3)解：①8 10分
②7√2或√2. 12分