《2026年授之以渔河北各地市中考试题汇编数学》

8. 在一个不透明的口袋中装有$8$个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同。通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在$60\%$附近，则口袋中红球可能有(D)

A.$15$个
B.$14$个
C.$13$个
D.$12$个

答案： 8.D 解析:本题考查由频率估计概率.设口袋中红球有x个，由题意，得$\frac{x}{8 + x}$ = 60%，解得x = 12，经检验，x = 12是所列分式方程的解，且符合题意，
∴口袋中红球可能有12个.故选D.

9. 下列关于$x$的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是(C)

A.$x^{2} + mx = 0$
B.$x^{2} - mx = 0$
C.$x^{2} + mx - 3 = 0$
D.$x^{2} + mx + 3 = 0$

答案： 9.C 解析:本题考查一元二次方程根的判别式.A.$x^2$ + mx = 0，Δ = $m^2$，当m = 0时，方程有两个相等的实数根，本选项不符合题意；B.$x^2$ - mx = 0，Δ = $m^2$，当m = 0时，方程有两个相等的实数根，本选项不符合题意；C.$x^2$ + mx - 3 = 0，Δ = $m^2$ + 12 ＞ 0，方程一定有两个不相等的实数根，本选项符合题意；D.$x^2$ + mx + 3 = 0，Δ = $m^2$ - 12，当-2$\sqrt{3}$ ＜ m ＜ 2$\sqrt{3}$时，方程没有实数根，本选项不符合题意.故选C.

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 70^{\circ}$，$AC = BC$，将$\triangle ABC$绕点$B$按顺时针方向旋转一定角度，得到$\triangle A'BC'$，点$A'$恰好落在$AC$上，连接$CC'$，则$\angle ACC'$的度数为(C)

A.$95^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： 10.C 解析:本题考查旋转的性质.
∵AC = BC，∠A = 70°，
∴∠ABC = ∠A = 70°.由旋转的性质，得∠A'B'C' = ∠ABC = 70°，A'B = AB，B'C' = BC，
∴∠BA'A = ∠A = 70°，AC = BC'，
∴∠A'BC' = ∠BA'A，
∴AC//BC'，
∴四边形ABC'C是平行四边形，
∴AB//CC'，
∴∠ACC' = 180° - ∠A = 110°.故选C.

11. 如图，在平面直角坐标系中，直线$l_{1}:y = x + 4$的图象与$x$轴、$y$轴交于点$M$，$N$，直线$l_{2}:y = kx + b$经过点$N$，且与$x$轴交于$OM$的中点$P$，以$A(1,3)$，$B(1,2)$，$C(3,2)$为顶点的$\triangle ABC$在第一象限内，将$\triangle ABC$向左平移$n$个单位长度。若$\triangle ABC$的各边始终与直线$l_{1}$或直线$l_{2}$有交点，则$n$的取值范围是(B)

A.$\frac{3}{2}\leq n\leq3$
B.$\frac{3}{2}\leq n\leq5$
C.$2\leq n\leq5$
D.$2\leq n\leq3$

答案： 11.B 解析:本题考查一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化——平移.将x = 0代入y = x + 4，得y = 4，
∴N(0，4).将y = 0代入y = x + 4，得x = -4，
∴M(-4，0).
∵点P为OM的中点，
∴P(-2，0).将N(0，4)，P(-2，0)分别代入y = kx + b中，得$\begin{cases}b = 4\\-2k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\b = 4\end{cases}$，
∴直线$l_2$的解析式为y = 2x + 4.根据题意可知平移后各点坐标为A'(1 - n，3)，B'(1 - n，2)，C'(3 - n，2).当点A'落在直线$l_2$上时，n取得最小值，将A'(1 - n，3)代入y = 2x + 4，得2(1 - n) + 4 = 3，解得n = $\frac{3}{2}$；当点C'落在直线$l_1$上时，n取得最大值，将C'(3 - n，2)代入y = x + 4，得3 - n + 4 = 2，解得n = 5，
∴n的取值范围是$\frac{3}{2}$≤n≤5.故选B.

12. 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 4$，$BC = 6$，$\angle B = 60^{\circ}$，$P$是$BC$边上的动点$(BP ＞ 2)$，将$\triangle ABP$沿$AP$翻折得$\triangle AB'P$，射线$PB'$与射线$AD$交于点$E$。下列说法正确的个数是(C)
①当$AB'\perp AB$时，$B'A = B'E$；
②当点$B'$落在$AD$上时，四边形$ABPB'$是菱形；
③在点$P$运动的过程中，线段$AE$的最小值为$4$；
④连接$BB'$，则四边形$ABPB'$的面积始终等于$\frac{1}{2}AP· BB'$。

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案：
12.C 解析:本题考查折叠的性质、菱形的判定.如图1，当AB'⊥AB时，∠BAB' = 90°.由折叠的性质，得∠BAP = ∠B'AP = 45°，∠B = ∠AB'P = 60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BAD = 120°，
∴∠B'AD = ∠BAD - ∠BAB' = 30°，
∴∠AEB' = ∠AB'P - ∠B'AD = 30°，
∴∠B'AD = ∠AEB'，
∴B'A = B'E，故①正确；如图2，当点B'落在AD上时，点E，B'重合.由折叠的性质，得∠BAP = ∠B'AP = 60°，AB = AB'，PB = PB'.又
∵∠B = 60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB = PB = PB' = AB'，
∴四边形ABPB'是菱形，故②正确；如图3，当点B'在▱ABCD外部时，存在点P使得∠AEB' ＞ 90°，
∴AE ＜ AB' = 4，
∴AE的最小值小于4，故③错误；连接BB'交AP于点O.根据折叠的性质，得AP垂直平分BB'，
∴$S_{四边形ABPB'}$ = $S_{\triangle ABP}$ + $S_{\triangle AB'P}$ = $\frac{1}{2}$AP·OB + $\frac{1}{2}$AP·OB' = $\frac{1}{2}$AP·BB'，故④正确.综上，正确的个数是3.故选C.

13. 若$mn = 2$，$m - n = -1$，则代数式$m^{2}n - mn^{2}$的值是-2。

答案： 13.-2

14. 如图，若$x$为大于$1$的正整数，则表示分式$\frac{2x^{2} + 2x}{x^{2} + 2x + 1}$的值落在段③处。(请从①②③④中选择正确答案填在横线上)

答案： 14.③ 解析:本题考查分式的运算.$\frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 2x + 1}$ = $\frac{2x(x + 1)}{(x + 1)^2}$ = $\frac{2x}{x + 1}$ = 2 - $\frac{2}{x + 1}$.
∵x为大于1的正整数，
∴0 ＜ $\frac{2}{x + 1}$ ＜ 1，
∴1 ＜ 2 - $\frac{2}{x + 1}$ ＜ 2，
∴1 ＜ $\frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 2x + 1}$ ＜ 2，
∴分式$\frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 2x + 1}$的值落在段③处.