《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

22. （10 分）张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价$y$（元/吨）与采购量$x$（吨）之间的函数关系如图中的折线段$ABC$所示（不包含端点$A$，但包含端点$C$）。
（1）求$y$与$x$之间的函数解析式；
（2）已知老王种植该种水果的成本是 2800 元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获得的利润最大？最大利润是多少？

答案： 22.
(1)根据图象可知当0＜x≤20 时,y=8000,
当20＜x≤40时,设BC满足的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
将B(20,8000),C(40,4000)代入y=kx+b中,得$\begin{cases}8000=20k+b,\\4000=40k+b.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-200,\\b=12000.\end{cases}$
∴y=−200x+12000.
综上可知,y与x之间的函数解析式为$y=\begin{cases}8000(0＜x\leq20),\\-200x+12000(20＜x\leq40).\end{cases}$
(2)设老王获得的利润为w元.
根据题意，得当0＜x≤20时，w=(8000−2800)x=5200x.
∵k=5200＞0,
∴w随x的增大而增大.
∴当x=20时,w最大=5200×20=104000.
当20＜x≤40时，
w=(−200x+12000−2800)x
=−200(x²−46x)
=−200(x−23)²+105800.
∵a=−200＜0,
∴当x=23时,w最大=105800.
∵105800＞104000,
∴当张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获得的利润最大,最大利润是105800元.

23. （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2} + bx - 3$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，$AB = 4$，$OA = 3OB$，$P$是直线$AC$下方抛物线上的一个动点，过点$P$作$PE // x$轴，交直线$AC$于点$E$。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若$M$是抛物线对称轴上的一个动点，则$BM + MC$的最小值是多少？
（3）求$PE$的最大值。

答案：
23.
(1)
∵AB=OA+OB=4,OA=3OB,
∴OB=1,OA=3.
∴A(−3,0),B(1,0),
将点A(−3,0),B(1,0)的坐标分别代入y=ax²+bx−3中,
得$\begin{cases}9a-3b-3=0,\\a+b-3=0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=x²+2x−3.
(2)把x=0代入y=x²+2x−3中,得y=−3.
∴点C的坐标为(0,−3).
∵点A,B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，
∴AM=BM.
∴MB+MC=AM+MC.
∵两点之间线段最短,
∴当点A,M,C在同一条直线上时,AM+MC最小,即BM+MC最小,如图,

∴BM+MC的最小值为AC 的长.
∵AC=$\sqrt{3²+3²}$=3$\sqrt{2}$
∴BM+MC的最小值为3$\sqrt{2}$.
(3)设直线AC的解析式为y=kx+m(k≠0),将点A(−3,0),C(0,−3)的坐标代入y=kx+m中,得$\begin{cases}-3k+m=0,\\m=-3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\m=-3.\end{cases}$
∴直线AC的解析式为y=−x−3.
设P(t,t²+2t−3),其中−3＜t＜0,则E(−t²−2t,t²+2t−3).
∴PE=−t²−2t−t
=−t²−3t
=−(t+$\frac{3}{2}$)²+$\frac{9}{4}$
∵−1＜0,
∴当t=−$\frac{3}{2}$时,PE取得最大值$\frac{9}{4}$,即PE的最大值为$\frac{9}{4}$.