《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

1. 已知二次函数 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的图象经过原点，最小值为 -8，且形状与抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} - 2x + 3 $ 相同，求该函数的解析式。

答案： 1.$y=\frac{1}{2}(x + 4)^{2}-8$或$y=\frac{1}{2}(x - 4)^{2}-8$

2. 在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为 $ A(1, -4) $，且过点 $ B(3, 0) $。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 当 $ -3 ＜ x ＜ 3 $ 时，说明函数值 $ y $ 的增减情况；
(3) 将此二次函数的图象怎样平移才能使它经过原点？

答案： 2.
(1)
∵ 二次函数图象的顶点为$A(1,-4)$，
∴ 设这个二次函数的解析式为$y = a(x - 1)^{2}-4$.
将点$B(3,0)$的坐标代入，得$0 =$
$a(3 - 1)^{2}-4$.
解得$a = 1$.
∴ 此二次函数的解析式为$y =$
$(x - 1)^{2}-4$,即$y = x^{2}-2x - 3$.
(2)
∵ 抛物线的解析式为$y =$
$(x - 1)^{2}-4$,
∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线$x = 1$.
∴ 当$-3 ＜ x\leq1$时,函数值$y$随$x$的增大而减小；
当$1 ＜ x ＜ 3$时,函数值$y$随$x$的增大而增大.
(3)将此二次函数的图象向上平移$3$个单位长度后经过原点(答案不唯一).

1. 抛物线 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x = h$。

答案： 1.$(h,k)$ 直线$x = h$

2. 平移规律：
(1) 抛物线 $ y = ax^{2} $ 向上或向下平移$|k|$个单位长度得到抛物线 $ y = ax^{2} + k $；
(2) 抛物线 $ y = ax^{2} $ 向右或向左平移$|h|$个单位长度，得到抛物线 $ y = a(x - h)^{2} $；
(3) 抛物线 $ y = ax^{2} $ 向右（或左）平移$|h|$个单位长度且向上（或下）平移$|k|$个单位长度，得到抛物线 $ y = a(x - h)^{2} + k $。

答案： 2.
(1)上 下 $|k|$
(2)右 左 $|h|$
(3)右（或左） $|h|$ 上（或下） $|k|$

1. 写出一个二次函数，其图象满足：
① 开口向下；
② 顶点坐标是 $ (1, 3) $。
这个二次函数的解析式可以是$y =-(x - 1)^{2}+3$。

答案： 1.$y =-(x - 1)^{2}+3$(答案不唯一)

2. 已知 $ (-2, y_{1}) $，$ (-1, y_{2}) $，$ (2, y_{3}) $ 是抛物线 $ y = (x - 2)^{2} - 4 + m $ 上的点，则 $ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $ 从小到大用“＜”号连接是$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$。

答案： 2.$y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$

3. 二次函数 $ y = a(x + m)^{2} + n $ 的图象如图所示，则一次函数 $ y = mx + n $ 的图象经过(C)

A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限

答案： 3.C

4. 若二次函数 $ y = 2(x + 1)^{2} + 3 $ 的图象上有三个不同的点 $ A(x_{1}, 4) $，$ B(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, n) $，$ C(x_{2}, 4) $，则 $ n $ 的值为3。

答案： 4.3

5. 如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为 $ O $，抛物线 $ y = a(x - 2)^{2} + 1(a ＞ 0) $ 的顶点为 $ A $，过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的平行线交抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} - 2 $ 于点 $ B $，连接 $ AO $，$ BO $，则 $ \triangle AOB $ 的面积为4。

答案： 5.4