《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

在生活实践中，人们经常会面对带有“最”字的问题. 如花费最少、面积最小、利润最大等问题.
例：用木料制作一个如图所示的“目”形长方形窗框(横档 $ EF $，$ GH $ 也用木料)，其中 $ AB // EF // GH // CD $，所用木料的总长为 $ 72 $ 米，要使窗框 $ ABCD $ 的面积最大，则 $ AB $ 的长为米.

答案： 9

阅读教材第 $ 49 $、$ 50 $ 页的有关内容，回答下列问题：
1. (练一练)已知一个矩形的周长为 $ 12 m $，设其一边长为 $ x m $，求矩形的面积 $ S(m^2) $ 与 $ x(m) $ 之间的函数解析式.
2. (试一试)若想设计一个周长为 $ 12 m $ 的矩形广告牌，如果你是设计师，怎么设计才能使广告牌的面积最大呢？
3. 你能总结出利用二次函数的性质解决实际生活和生产中最大值或最小值问题的一般方法吗？

答案： 1.$S=-x^{2}+6x$
2.由第1题，得$S=-x^{2}+6x=-(x-3)^{2}+9$.
$\because \quad a=-1＜0$,
$\therefore$当$x=3$时,$S$取得最大值$9$.
$\therefore$当矩形广告牌的一边长为$3m$时,矩形广告牌的面积最大.
3.第一步,设自变量;第二步,建立函数的解析式;第三步,确定自变量的取值范围;第四步,结合自变量的取值范围和函数的性质求出最大值或最小值.

1. 某种火箭竖直向上发射时，它的高度 $ h(m) $ 与时间 $ t(s) $ 的关系可以用公式 $ h = -5t^2 + 150t + 10 $ 表示，则经过15$ s $，火箭到达它的最高点.

答案： 1.$15$

2. 当 $ x = $$-\frac{5}{2}$时，二次函数 $ y = x^2 + 5x + 1 $ 有最小值，是$-\frac{21}{4}$.

答案： 2.$-\frac{5}{2}$小$-\frac{21}{4}$

3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1) $ y = 6x^2 + 12x $； (2) $ y = -4x^2 + 8x - 10 $.

答案： 3.
(1)$y=6x^{2}+12x$
$=6(x^{2}+2x)$
$=6(x^{2}+2x+1)-6$
$=6(x+1)^{2}-6$.
抛物线的开口向上,对称轴是直线$x=-1$,顶点坐标是$(-1,-6)$.
(2)$y=-4x^{2}+8x-10$
$=-4(x^{2}-2x+1)-10+4$
$=-4(x-1)^{2}-6$.
抛物线的开口向下,对称轴是直线$x=1$,顶点坐标是$(1,-6)$.

4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ ABCD $ 的一边 $ AB $ 在 $ x $ 轴上，顶点 $ B $ 在 $ x $ 轴正半轴上. 若抛物线 $ y = x^2 - 5x + 4 $ 经过点 $ C $，$ D $，则点 $ B $ 的坐标为(2,0).

答案： 4.$(2,0)$