《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

20. （8分）已知关于x的一元二次方程$x^2 - 6x + 2m - 1 = 0$有$x_1$，$x_2$两个实数根.
(1)若$x_1 = 1$，求$x_2$及m的值；
(2)是否存在实数m，满足$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = \frac{6}{m - 5}$？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.

答案： 20.
(1)根据题意,得$\Delta=(-6)^{2}-4(2m - 1)\geq0$,解得$m\leq5$.
$x_{1}+x_{2}=6,x_{1}\cdot x_{2}=2m - 1$,
$\because x_{1}=1$,
$\therefore1+x_{2}=6,x_{2}=2m - 1$.
$\therefore x_{2}=5,m = 3$.
(2)存在.
$\because(x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m - 5}$,
$\therefore x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m - 5}$,
即$2m - 1 - 6 + 1=\frac{6}{m - 5}$.
整理,得$m^{2}-8m + 12 = 0$.
解得$m_{1}=2,m_{2}=6$.
经检验,$m_{1}=2,m_{2}=6$为原方程的解.
$\because m\leq5$且$m\neq5$,
$\therefore m = 2$.

21. （8分）某商场新建一个三层停车楼，每一层的布局如图所示. 已知每层长为40m，宽为30m. 阴影部分设计为停车位，停车位地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每一层的喷漆面积为$816m^2$.

(1)求通道的宽；
(2)据调查分析，当每一个车位的月租金为500元时，可以租出10个车位，为了提高收入，该商场经理决定，每多租一个车位，相应的每个车位的月租金可以减少10元，当租出多少个车位时，该商场的月租金收入为8000元？

答案： 21.
(1)设通道的宽是$x$m,则每一层的停车位可合成长为$(40 - 2x)$m,宽为$(30 - 2x)$m的矩形.
根据题意,得$(40 - 2x)(30 - 2x)=816$.
整理,得$x^{2}-35x + 96 = 0$.
解得$x_{1}=3,x_{2}=32$(不合题意,舍去).
答:通道的宽是3m.
(2)设多租$y$个车位,则租出$(10 + y)$个车位,每个车位的月租金为$(500 - 10y)$元.
根据题意,得$(500 - 10y)(10 + y)=8000$.
整理,得$y^{2}-40y + 300 = 0$.
解得$y_{1}=10,y_{2}=30$.
当$y = 10$时,$10 + y = 20$.
当$y = 30$时,$10 + y = 40$.
答:当租出20个或40个车位时,该商场的月租金收入为8000元.

22. (8分)定义：我们把关于x的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$与$cx^2 + bx + a = 0(ac \neq 0,a \neq c)$称为一对“友好方程”. 如$2x^2 - 7x + 3 = 0$的“友好方程”是$3x^2 - 7x + 2 = 0$.
(1)写出一元二次方程$x^2 + 2x - 8 = 0$的“友好方程”：$-8x^{2}+2x + 1 = 0$；
(2)已知一元二次方程$x^2 + 2x - 8 = 0$的两个根分别为$x_1 = 2$，$x_2 = -4$，它的“友好方程”的两个根分别为$x_3 = \frac{1}{2}$，$x_4 =$$-\frac{1}{4}$. 根据以上结论，猜想$ax^2 + bx + c = 0$的两根$x_1$，$x_2$与其“友好方程”$cx^2 + bx + a = 0$的两根$x_3$，$x_4$之间存在的一种特殊关系为互为倒数；
(3)已知关于x的方程$2020x^2 + bx - 1 = 0$的两个根分别是$x_1 = -1$，$x_2 = \frac{1}{2020}$. 请利用(2)中的结论，直接写出关于x的方程$(x - 1)^2 - bx + b = 2020$的两个根.

答案： 22.
(1)$-8x^{2}+2x + 1 = 0$
(2)$-\frac{1}{4}$互为倒数
(3)$x_{1}=0,x_{2}=2021$.