《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

卢沟桥主桥拱可以近似地看作抛物线(如图),桥拱在水面的跨度OA约为22m,若按如图所示方式建立平面直角坐标系,则主桥拱所在抛物线可以表示为$y = -\frac{13}{121}(x - 11)^2 + k$,则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为m.

答案： 26

阅读教材第51页的有关内容,回答下列问题:
1. 根据建立的坐标系选择合适的二次函数解析式.
(1)顶点在原点,对称轴为y轴,可设解析式为:$y = a x ^ { 2 } ( a \neq 0 )$.
(2)对称轴为y轴,可设解析式为:$y = a x ^ { 2 } + c ( a \neq 0 )$.
(3)顶点在x轴上,对称轴平行于y轴,可设解析式为:$y = a ( x - h ) ^ { 2 } ( a \neq 0 )$.
(4)顶点为$(h,k)$,可设解析式为:$y = a ( x - h ) ^ { 2 } + k ( a \neq 0 )$.

答案： 1.
(1)$y = a x ^ { 2 } ( a \neq 0 )$
(2)$y = a x ^ { 2 } + c ( a \neq 0 )$
(3)$y = a ( x - h ) ^ { 2 } ( a \neq 0 )$
(4)$y = a ( x - h ) ^ { 2 } + k ( a \neq 0 )$

1. 如图是某抛物线形廊桥的示意图.已知抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{1}{2}x^2 + 10$,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB均为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF是4米.

答案： 1.4

2. 某大桥桥底呈抛物线,以O为原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,桥面CB$//$OA,其抛物线解析式为$y = -\frac{1}{320}(x - 80)^2 + 20$,抛物线上点A离桥面的距离AB=22米,若存在一点E使得$CE = \frac{3}{8}CB$,则点E到抛物线的距离ED=3.25米.

答案： 2.3.25

3. 如图,在某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直),如果抛物线的最高点M离墙1m,距地面$\frac{40}{3}$m,那么水流落地点B离墙的距离OB是(B)

A.2m
B.3m
C.4m
D.5m

答案： 3.B

投篮时篮球在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立平面直角坐标系,篮球从出手到进入篮筐的过程中,它的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系,篮筐中心距离地面的竖直高度是3m,某运动员进行了两次投篮训练.
(1)第一次训练时,该运动员投出篮球的水平距离x(m)与竖直高度y(m)的几组数据如下:

①在平面直角坐标系中,描出以上表中各组对应值为坐标的点,并用平滑的曲线连接;

②结合表中数据或所画图象,直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是3.8m,并求y与x满足的函数解析式;
③已知此时该运动员距篮筐中心的水平距离为5m,该运动员第一次投篮练习能否成功?请说明理由;
(2)第二次训练时,篮球出手时的竖直高度与第一次训练时相同,此时投出篮球的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系$y = a(x - 3)^2 + 4.25$,若投篮成功,此时运动员距篮筐中心的水平距离d＞5m.(填“＞”“=”或“＜”)

答案：

(1)①如图，即为所求.

②3.8
设$y$与$x$满足的函数解析式为$y = m ( x - 3 ) ^ { 2 } + 3.8$，
把点$(0,2)$代入，得$2 = ( 0 - 3 ) ^ { 2 } m + 3.8$.
解得$m = - 0.2$.
$\therefore y$与$x$满足的函数解析式为$y = - 0.2 ( x - 3 ) ^ { 2 } + 3.8$.
③能成功.理由如下：
当$y = 3$时，$3 = - 0.2 ( x - 3 ) ^ { 2 } + 3.8$.
解得$x = 5$或$x = 1$(不合题意，舍去).
$\therefore$该运动员距篮筐中心的水平距离为$5m$时，篮球运行的高度为$3m$.
$\therefore$该运动员第一次投篮练习能成功.
(2)$＞$