《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

请同学们阅读教材第 55 页的有关内容，思考下列问题：
1. 二次函数的一般形式是什么？
2. 五种特殊的二次函数图象特征有哪些？请填写下表。

当$a ＜ 0$时，
3. 二次函数图象的平移步骤和规律分别是什么？
4. 如何求二次函数的解析式？用待定系数法求解析式的步骤是什么？
5. 二次函数$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$中，$a$，$b$，$c$及$b^2 - 4ac$的符号与图象的关系是什么？请填写下表。

6. 关于二次函数图象的对称性你知道什么？

7. 二次函数与一元二次方程的关系是什么？
8. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤有哪些？
9. 通过对本章内容的学习，你体会到了哪些数学思想方法？

答案：
1.$y=ax^{2}+bx+c(a \neq 0)$.
2.略.
3.
(1)平移步骤：
①将抛物线的解析式转化成顶点式$y=a(x - h)^{2}+k$，确定其顶点坐标为$(h,k)$.
②保持抛物线$y=ax^{2}$的形状不变，将其顶点平移到$(h,k)$处，具体平移方法如下：

(2)平移规律：
在原有图象的基础上“$h$值正右移，负左移；$k$值正上移，负下移”.
概括成八个字“左加右减，上加下减”.
4.已知二次函数图象上三个点的坐标，可设其解析式为$y=ax^{2}+bx+c$，并把这三个点的坐标代入，解关于$a,b,c$的三元一次方程组，求出$a,b,c$的值，从而求出解析式——待定系数法.
用待定系数法求解析式的步骤是：一设、二代、三解、四还原.
5.二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a \neq 0)$中，$a,b,c$及$b^{2}-4ac$的符号与图象的关系如下：
取值　　　　　图象特征
$a＞0$　　　　　开口向上
$a＜0$　　　　　开口向下
$ab＞0(a,b$同号$)$　对称轴在$y$轴左侧
$b=0$　　　　对称轴为$y$轴
$ab＜0(a,b$异号$)$　对称轴在$y$轴右侧
$c＞0$　　　　与$y$轴正半轴相交
$c=0$　　　　　经过原点
$c＜0$　　　　与$y$轴负半轴相交
$b^{2}-4ac＞0$　　　与$x$轴有两个交点
$b^{2}-4ac = 0$　　与$x$轴只有一个交点
$b^{2}-4ac＜0$　　　与$x$轴无交点
6.已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点关于对称轴的对称点，这个对称点也一定在该图象上.
7.一般地，从二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象可知，
(1)如果抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴有公共点，公共点的横坐标是$x_{0}$，那么当$x=x_{0}$时，函数的值是$0$，因此$x=x_{0}$就是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根.
(2)二次函数的图象与$x$轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着相应的一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.
8.略.
9.函数思想：建立二次函数模型解决实际问题是一种重要的思想方法.
数形结合思想：在研究二次函数时，数形结合是常用的思想方法，借助于图形，可以将抽象问题具体化.
分类思想：当问题的条件不确定时，需要对可能的情况分别讨论，这也是二次函数中常用的思想方法.
方程思想：求值问题是通过建立方程求根加以解决的.
整体思想：将某些具有相同特征的代数式作为一个整体来处理，这是研究二次函数问题时常用的思想方法.