《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

如图所示，在△ABC中，∠B = 90°，点P从点B出发，沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动，同时点Q从点B出发，沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动。问出发几秒时，△PBQ的面积等于4。如果设出发x s时$S_{△PBQ}=4，$就可以得到方程x²=4，解这个方程时你用到了什么性质？你会用这个性质解下列方程吗？
(1)2x²=8；
(2)(x + 6)² - 9 = 0；
(3)3(x - 1)² - 6 = 0。

答案： 题目解答中方程的解为2；
(1)的解为$\pm 2$；
(2)的解为-3和-9；
(3)的解为$1 \pm \sqrt{2}$。

阅读教材第5页的“问题1”，并回答下列问题：
1. 正方体的表面积如何求？
2. 教材中得到“①”式的根据是什么？此式子中的“=”是由哪个关键词得到的？
3. 对于方程x²=25，可根据平方根的意义得到x₁=5，x₂=-5。
由此总结：
方程x²=p(p＞0)的根为$x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$。
方程x²=p(p=0)的根为$x_1=x_2=0$。
方程x²=p(p＜0)的根又是怎样的情况？
4. (1)方程(2x - 1)²=5与x²=25的相同点是什么？尝试解方程(2x - 1)²=5。
(2)解方程：x² + 6x + 9 = 2。
解：原方程可化为(x + 3)²=2。
5. 方程有什么特征时可考虑直接降次解方程？尝试总结上面解一元二次方程的过程，它们的共同特点是什么？

答案： 1.正方体的表面积=6×棱长×棱长.
2.一桶油漆恰好刷完10个同样的正方体盒子的全部外表面.
关键词“恰好刷完”.
3.平方根的意义 5 -5
$x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$
$x_1=x_2=0$
方程无实数根.
4.
(1)经过分析,发现方程$(2x - 1)^2 = 5$和方程$x^2 = 25$的形式类似,应把方程$(2x - 1)^2 = 5$中的$2x - 1$看成一个整体,由平方根的意义可将二次方程转化为两个一次方程,便可求得方程的两个根.解方程略.
(2)x 3
降次,得$x + 3 = \pm\sqrt{2}$.
于是,方程的根为$x_1=\sqrt{2}-3$,
$x_2=-\sqrt{2}-3$.
5.如果方程能化成$x^2 = p(p\geq0)$,
或$(mx + n)^2 = p(p\geq0)$的形式,那么就可以直接降次,将方程转化成一元一次方程$x = \pm\sqrt{p}$,或$mx + n = \pm\sqrt{p}$.
共同特点:根据平方根的意义,可把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,即转化成了我们会解的方程.