《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

1. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 67° $，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 顺时针旋转后，得到 $ \triangle AB'C' $，且点 $ C' $ 在 $ BC $ 边上，则 $ \angle B'C'B $ 的度数为(C)
A. $ 56° $
B. $ 50° $
C. $ 46° $
D. $ 40° $
2. 如图，把 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转某个角度 $ \alpha $ 得到 $ \triangle A'B'C $，$ \angle A = 30° $，$ \angle 1 = 50° $，则旋转角 $ \alpha $ 等于(D)
A. $ 110° $
B. $ 70° $
C. $ 40° $
D. $ 20° $

答案： 1.C
2.D

3. 如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ E $，$ F $ 分别是边 $ AD $，$ CD $ 上的点，$ \angle EBF = 45° $，$ \triangle EDF $ 的周长为 8，则正方形 $ ABCD $ 的边长为4。

4. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ \angle A = 110° $，$ E $ 是菱形 $ ABCD $ 内一点，连接 $ CE $，将 $ CE $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转 $ 110° $，得到线段 $ CF $，连接 $ BE $，$ DF $。若 $ \angle E = 86° $，求 $ \angle F $ 的度数。

5. 如图，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转得到 $ \triangle DBE $，点 $ E $ 在线段 $ AB $ 上，$ DE $ 的延长线与 $ AC $ 交于点 $ F $，连接 $ DA $，$ BF $，$ \angle ABC = 60° $，$ BF = AF $。
(1) 求证：$ DA // BC $；
(2) 猜想线段 $ AD $，$ AE $ 的数量关系，并证明你的猜想。

答案： 3.4
4.由旋转的性质知，$CE = CF$，$\angle ECF = 110^{\circ}$.
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore BC = DC$，$\angle BCD = \angle A = 110^{\circ}$.
$\therefore \angle ECF = \angle BCD$.
$\therefore \angle BCD - \angle DCE = \angle ECF - \angle DCE$，即$\angle BCE = \angle DCF$.
在$\triangle BCE$和$\triangle DCF$中，
$\begin{cases}BC = DC, \\ \angle BCE = \angle DCF, \\ CE = CF,\end{cases}$
$\therefore \triangle BCE \cong \triangle DCF$.
$\therefore \angle F = \angle E = 86^{\circ}$.
5.
(1)由旋转，知$AB = BD$，$\angle ABD = \angle ABC = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABD$是等边三角形.
$\therefore \angle DAB = 60^{\circ}$.
$\because \angle ABC = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle DAB = \angle ABC$.
$\therefore AD // BC$.
(2)$AD = 2AE$.
证明:$\because \triangle ABD$是等边三角形，
$\therefore AD = BD$，$\angle ADB = 60^{\circ}$.
在$\triangle ADF$和$\triangle BDF$中，
$\begin{cases}AD = BD, \\ AF = BF, \\ DF = DF,\end{cases}$
$\therefore \triangle ADF \cong \triangle BDF$.
$\therefore \angle ADF = \angle BDF = \frac{1}{2} \angle ADB = 30^{\circ}$.
$\therefore DE \perp AB$，即$\angle AED = 90^{\circ}$.
$\therefore AD = 2AE$.