《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

有道题是说一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后，所得的两位数与原来的两位数之积是1008，求原来的两位数. 姐姐说是24，弟弟说是42，姐弟俩的争吵声惊动了妈妈，妈妈听后说应该是24或42. 你能说出24，42两个数都可以的原因吗？

答案： 设原来的两位数的十位数字为 $x$，则个位数字为 $6 - x$。
原来的两位数可以表示为：
$10x + (6 - x) = 9x + 6$，
将十位数字与个位数字对调后得到的两位数为：
$10(6 - x) + x = 60 - 9x$，
根据题意，这两个数的乘积为1008，所以：
$(9x + 6)(60 - 9x) = 1008$，
展开并整理得：
$540x - 81x^{2} + 360 - 54x = 1008$，
进一步整理，得到：
$-81x^{2} + 486x - 648 = 0$，
除以-81得：
$x^{2} - 6x + 8 = 0$，
因式分解得到：
$(x - 2)(x - 4) = 0$，
解得：
$x_{1} = 2$，
$x_{2} = 4$。
当 $x = 2$ 时，个位数字为 $6 - 2 = 4$，所以原来的两位数为24；
当 $x = 4$ 时，个位数字为 $6 - 4 = 2$，所以原来的两位数为42。
所以原来的两位数可以是24或42。

1. 解方程：$1 - \frac{x - 2}{6} = \frac{x}{2}$.

答案： 1.$6 - x + 2 = 3x$，
$-4x = -8$，
$x = 2$.

2. 检验$x = 3$是否是方程$1 - \frac{x - 2}{6} = \frac{x}{2}$的解.

答案： 2.当$x = 3$时，
$\because$左边$= 1 - \frac{3 - 2}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$，
右边$= \frac{3}{2}$，
$\therefore$左边$\neq$右边.
$\therefore x = 3$不是原方程的解.

3. 阅读教材第3页例题以上的内容，回答下列问题：
（1）类比一元一次方程的根的概念写出一元二次方程的根的概念.
（2）下面哪些数是方程$x^{2} + 5x + 6 = 0$的根？$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，0，1，2，3，4.
（3）你能用所学的知识求出下列方程的根吗？
①$x^{2} - 64 = 0$；②$x^{2} + 1 = 0$；③$x^{2} - 3x = 0$.

答案： 3.
(1)使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
(2)当$x = - 3$时，
$\because$左边$= (-3)^{2} + 5×(-3) + 6 =$
$9 - 15 + 6 = 0$，右边$= 0$，
$\therefore$左边$=$右边.
$\therefore x = - 3$是原方程的根.
当$x = - 2$时，
$\because$左边$= (-2)^{2} + 5×(-2) + 6 =$
$4 - 10 + 6 = 0$，右边$= 0$，
$\therefore$左边$=$右边.
$\therefore x = - 2$是原方程的根.
$\therefore - 3$和$- 2$是方程$x^{2} + 5x + 6 = 0$的根.
(3)①$x = 8$或$x = - 8$；
②此方程无实数根；
③$x = 0$或$x = 3$.

4. 思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？

答案： 4.一元二次方程有两个实数根或没有实数根.

5. 排球邀请赛问题中，所列方程$x^{2} - x = 56$的根是8和$-7$，但是答案只能有一个，应该是哪个？为什么？

答案： 5.应该是$8$.因为$x$表示球队数，球队数不能为负数.

1. 已知关于$x$的方程$x^{2} - 2kx - 10 = 0$的一个根为$x = 3$，则实数$k$的值为(D)

A.$\frac{4}{3}$
B.1
C.2
D.$-\frac{1}{6}$

答案： 1.D