《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车. 已知在甲、乙两地的销售利润 $ y $（万元）与销售量 $ x $（辆）之间分别满足：$ y_{1}=-x^{2}+10x $，$ y_{2}=2x $，若该公司在甲、乙两地共销售 $ 15 $ 辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为多少万元？

答案： 设在甲地销售$x$辆汽车，则在乙地销售$(15 - x)$辆汽车。
根据题意，甲地的销售利润为$y_{1} = -x^{2} + 10x$，乙地的销售利润为$y_{2} = 2(15 - x)$。
因此，公司总利润$W$（万元）可以表示为：
$W = (-x^{2} + 10x) + 2(15 - x)$
$W = -x^{2} + 10x + 30 - 2x$
$W = -x^{2} + 8x + 30$
$W = -(x - 4)^{2} + 46$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此当$x = 4$时，$W$取得最大值，即$W_{最大} = 46$。
故公司能获得的最大利润为$46$万元。

阅读教材第 $ 50 $ 页“探究 $ 2 $”，回答下列问题：
1. 已知某商品的进价为每件 $ 40 $ 元，售价是每件 $ 60 $ 元，每星期可卖出 $ 300 $ 件. 据市场调查发现：如果调整价格，每涨价 $ 1 $ 元，每星期要少卖出 $ 10 $ 件. 要想一周获得 $ 6090 $ 元的利润，该商品应定价为多少元？
分析：设销售单价涨了 $ x $ 元，那么每件商品的利润可表示为20+x元，每周的销售量可表示为300-10x件，一周的利润可表示为(20+x)(300-10x)元，要想获得 $ 6090 $ 元利润可列方程(20+x)(300-10x)=6090.
若设销售单价定为 $ x $ 元，那么每件商品的利润可表示为x-40元，每周的销售量可表示为300-10(x-60)件，一周的利润可表示为(x-40)[300-10(x-60)]元，要想获得 $ 6090 $ 元利润可列方程(x-40)[300-10(x-60)]=6090.
2. 已知某商品的进价为每件 $ 40 $ 元，售价是每件 $ 60 $ 元，每星期可卖出 $ 300 $ 件. 据市场调查发现：若调整价格，每涨价 $ 1 $ 元，每星期要少卖出 $ 10 $ 件. 该商品单价定为多少元时，商场能获得最大利润？
分析：设每件商品涨价 $ x $ 元，商场每星期售出商品获得的利润为 $ y $ 元.

答案： 1.(20+x)(300-10x)
(20+x)(300-10x)=6090
(x-40)[300-10(x-60)](x-40)[300-10(x-60)]=6090
2.分析：设每件商品涨价x元，商场每星期售出该商品获得的利润为y元.
进价 售价 销售件数 总利润
涨价前 40 60 300 6000
涨价后$ 40 60+x 300-10x (60+x-40)\cdot(300-10x)$
解：设每件商品涨价x元，每星期售出该商品获得的利润为y元.根据题意，得
y=(60+x-40)(300-10x).
化简，得$y=-10x^2+100x+6000.$
对$y=-10x^2+100x+6000$进行配方，得
$y=-10(x-5)^2+6250.$
当x=5时，y有最大值，最大值为6250.
当x=5时，单价为60+5=65(元).
答：该商品单价定为65元时，商场能获得最大利润.

1. 某厂今年一月份新产品的研发资金为 $ 100 $ 万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 $ x $，则该厂今年三月份新产品的研发资金 $ y $(万元)关于 $ x $ 的函数关系式为y=100(1+x)^2.

答案： $1.y=100(1+x)^2$

2. 便民商店经营一种商品，在销售过程中发现，一周的利润 $ y $(元)与每件的售价 $ x $(元)之间的关系满足 $ y=-2(x - 20)^{2}+1558 $，由于某种原因，每件商品的售价范围为 $ 15 \leq x \leq 22 $，那么一周可获得的最大利润是(D)

A.$ 20 $ 元
B.$ 1508 $ 元
C.$ 1550 $ 元
D.$ 1558 $ 元

答案： 2.D

3. 某种商品的进价为每件 $ 40 $ 元，在某段时间内若以每件 $ x $ 元出售，则可卖出 $ (100 - x) $ 件，当利润最大时，$ x $ 的值为(C)

A.$ 50 $
B.$ 60 $
C.$ 70 $
D.$ 80 $

答案： 3.C