《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

1. 小刚在解方程$2x(x - 3) = 3 - x$时出现了错误，解答过程如下：
原方程可化为$2x(x - 3) = -(x - 3)$.(第一步)
方程两边同时除以$x - 3$，得$x = -\frac{1}{2}$.(第二步)
(1) 小刚的解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是方程两边不能直接同时除以x−3,没有考虑x−3=0的情况.
(2) 请写出此题正确的解答过程.

答案： 1.
(1)二 方程两边不能直接同时除以x−3,没有考虑x−3=0的情况
(2)正确的解答过程如下：
原方程可化为2x(x−3)=−(x−3).
移项,得2x(x−3)+(x−3)=0.
因式分解,得(x−3)(2x+1)=0.
于是得x−3=0,或2x+1=0.
解得$x₁=3,x₂=−\frac{1}{2}.$

2. 已知一元二次方程$(x - 2)^{2} = (2x + 5)^{2}$，请至少用两种方法来解此方程.

答案： 2.解法一：
方程两边直接开平方,得x−2=
±(2x+5),即x−2=2x+5或x−2=
−(2x+5).
∴ 原方程的根是x₁=−7,x₂=
−1.
解法二：
移项,得(x−2)²−(2x+5)²=0,
方程左边因式分解,得
[(x−2)−(2x+5)][(x−2)+(2x
+5)]=0,
即(−x−7)(3x+3)=0.
∴ −x−7=0或3x+3=0.
∴ 原方程的根是x₁=−7,x₂=−1.
解法三：
将原方程变形为x²+8x+7=0.
a=1,b=8,c=7,
b²−4ac=8²−4×1×7=36.
∴$ x=\frac{−8±\sqrt{36}}{2}=\frac{−8±6}{2}.$
∴ 原方程的根是x₁=−7,x₂=
−1.

1. 方程$x(x + 5) = x$的根是(C)

A.$x = -5$
B.$x_{1}=-5,x_{2}=0$
C.$x_{1}=-4,x_{2}=0$
D.$x_{1}=-6,x_{2}=0$

答案： 1.C

2. 解下列方程，并归纳在解一元二次方程的过程中需要注意的问题.
(1) $(x - 2)^{2} = 2x - 4$；
(2) $25y^{2}-16 = 0$；
(3) $x^{2}-12x + 36 = 0$；
(4) $(x - 4)^{2} = (5 - 2x)^{2}$.

答案： 2.
(1)x₁=2,x₂=4
$(2)y₁=\frac{4}{5},y₂=−\frac{4}{5}$
(3)x₁=x₂=6
(4)x₁=1,x₂=3
提示:把方程
(4)的右边移到左边,
得(x−4)²−(5−2x)²=0,利用平方差公式分解因式即可.
注意的问题略.