《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

我们还是来看“醉汉执竿进屋”的问题：设竹竿的长为$x$尺，横着比门框宽$4$尺，竖着比门框高$2$尺。由勾股定理可列方程为$(x - 4)^2+(x - 2)^2 = x^2$，整理后得$x^2 - 12x + 20 = 0$，同学们都知道，这是一个一元二次方程，像这样的方程经过怎样的变换就能得到$(x + n)^2 = p$的形式呢？这就是今天我们将要学习的内容，大家都准备好了吗？

答案： 方程变换后为$(x - 6)^2 = 16$。

1. 将下列式子因式分解：
(1)$x^2 + 4x + 4$；
(2)$y^2 - 6y + 9$；
(3)$4a^2 + 24a + 36$。

答案： 1.
(1)$(x + 2)^{2}$
(2)$(y - 3)^{2}$
(3)$4(a + 3)^{2}$

2. 填空：
(1)$x^2 + 10x + $25$ = (x + 5)^2$；
(2)$x^2 + 6x + $9$ = (x + $3$)^2$；
(3)$x^2 - 2x + $1$ = (x - $1$)^2$。
你从上面的填空能发现什么规律？(至少写两条)

答案： 2.
(1)25
(2)9 3
(3)1 1
规律:①二次项系数为1;②左边一次项系数一半的平方是常数项.

3. 仔细观察方程$x^2 + 4x + 4 = 0$，能直接降次解此方程吗？方程$x^2 + 6x + 4 = 0$呢？

答案： 3.能直接降次解方程$x^{2}+4x + 4 = 0$;不能直接降次解方程$x^{2}+6x + 4 = 0$.

4. 对比方程$x^2 + 4x + 4 = 0$的解法，观察方程$x^2 + 6x + 4 = 0$与方程$x^2 + 4x + 4 = 0$的不同之处。

答案： 4.$x^{2}+4x + 4 = 0$等号左边是含$x$的完全平方式,$x^{2}+6x + 4 = 0$等号左边不是含$x$的完全平方式.

5. 讨论：在教材第$7$页的框图中，第二步为什么方程两边加$9$？加其他数行吗？

答案： 5.两边加9可以将方程左边配成一个完全平方的形式,加其他数不行.

6. 思考：①如果二次项系数不为$1$，那么又该如何解呢？例如：$4x^2 - 8x = -3$。
②如果配方完成后，等式右边是一个负数呢？

答案： 6.①如果二次项系数不为1,需要将方程两边同时除以二次项系数,把二次项系数化为1,再进行配方.例如$4x^{2}-8x = -3$,首先将二次项系数化为1,得$x^{2}-2x = -\frac{3}{4}$,然后再配方.
②如果配方完成后,等式右边是一个负数,而在实数范围内任何数的平方都不会是负数,所以原方程无实数根.

7. 请你总结用配方法解一元二次方程的一般步骤。

答案： 7.
(1)移项,使方程左边只含有二次项和一次项,右边为常数项.
(2)把二次项系数化为1.
(3)配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方.
(4)使原方程变为$(x + k)^{2}=a$的形式.
(5)如果$a$是非负数,就可以直接降次解方程了;如果$a$是负数,那么原一元二次方程无实数根.

1. 用配方法解方程$x^2 - 8x = 1$时，需要两边同时加上(C)

A.$4$
B.$8$
C.$16$
D.$64$

答案： 1.C