《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

4. 用公式法解下列方程：
(1)$4x^{2}+4x+10=1-8x$；
(2)$4x^{2}-3x+1=0$；
(3)$5x^{2}-12=4x$；
(4)$(2x+1)(2x-1)=2\sqrt {2}x$；
(5)$3x^{2}-(x+2)^{2}+2x=0$.

答案： 4.
(1)$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$
(2)方程无实数根
(3)$x_{1}=-\frac{6}{5},x_{2}=2$
(4)$x_{1}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4},x_{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
(5)$x_{1}=-1,x_{2}=2$

5. 阅读理解：
方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的根是$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$. 方程$y^{2}+by+ac=0$的根是$y=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2}$. 因此求$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的根，只要求出方程$y^{2}+by+ac=0$的根，再除以$a$就可以了. 举例：
解方程：$72x^{2}+8x+\frac {1}{6}=0$.
解：先解方程$y^{2}+8y+72×\frac {1}{6}=0$，得$y_{1}=-2,y_{2}=-6$. $\therefore$ 方程$72x^{2}+8x+\frac {1}{6}=0$的根是$x_{1}=-\frac {2}{72},x_{2}=-\frac {6}{72}$，即$x_{1}=-\frac {1}{36},x_{2}=-\frac {1}{12}$.
请按上述阅读理解中所提供的方法解方程：$49x^{2}+6x-\frac {1}{7}=0$.

答案： 5.先解方程$y^{2}+6y - 49×\frac{1}{7}=0$,即$y^{2}+6y - 7 = 0$,得$y_{1}=1,y_{2}=-7$.
∴ 方程$49x^{2}+6x-\frac{1}{7}=0$的根是$x_{1}=\frac{1}{49},x_{2}=-\frac{1}{7}$.

6. 已知等腰三角形$ABC$的两边长$b,c$恰好是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+5(k-\frac {3}{4})=0$的两个根. 若$\triangle ABC$的另一边长$a=4$，试求$\triangle ABC$的周长.

答案： 6.由题意,得$\Delta=[-(2k + 1)]^{2}-4×5(k-\frac{3}{4})=4k^{2}-16k + 16=4(k - 2)^{2}\geqslant0$,
∵ $\triangle ABC$是等腰三角形,
∴ ①当$b = c$时,$\Delta=4(k - 2)^{2}=0$,解得$k_{1}=k_{2}=2$,方程化为$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=\frac{5}{2}$.
∵ $\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5＞4$,
∴ $\frac{5}{2},\frac{5}{2},4$能构成等腰三角形.此时$\triangle ABC$的周长为$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+4 = 9$.②当$b = a = 4$或$c = a = 4$时,把$x = 4$代入方程,得$16-4(2k + 1)+5(k-\frac{3}{4}) = 0$,解得$k=\frac{11}{4}$.方程化为$x^{2}-\frac{13}{2}x + 10 = 0$.解得$x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=4$.$4,4,\frac{5}{2}$能构成等腰三角形,此时$\triangle ABC$的周长为$4 + 4+\frac{5}{2}=\frac{21}{2}$.综上所述,$\triangle ABC$的周长为$9$或$\frac{21}{2}$.