《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

要测量马克杯的口径，我们采用下面的方式：如图，刻度尺和三角尺成直角放置，三角尺垂直于刻度尺的一边且经过刻度尺的零刻度线，相交点为 $ M $，将杯口靠紧三角尺和刻度尺，找到杯口与刻度尺的接触点 $ N $，从刻度尺上读出 $ MN $ 的长度，$ MN $ 的 $ 2 $ 倍即为杯口的直径。你知道这种测量方法的数学道理吗？

答案： 1. 设杯口所在圆的圆心为$O$，半径为$r$。
2. 刻度尺与三角尺的直角边互相垂直，构成两条互相垂直的直线，杯口与这两条直线均相切，设切点分别为$N$（刻度尺上）和$P$（三角尺直角边上）。
3. 由切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，得$ON \perp$刻度尺，$OP \perp$三角尺直角边，且$ON = OP = r$。
4. 因两条切线互相垂直，四边形$OMPN$为矩形，又$ON = OP$，故四边形$OMPN$为正方形，所以$MN = ON = r$。
5. 杯口直径为$2r = 2MN$，即$MN$的2倍为杯口直径。
结论：利用切线性质及正方形性质，得杯口直径为$2MN$。

1. 阅读教材第 $ 99 $ 页关于切线长的内容，解决下列问题：
(1)切线长与切线这两个概念有何区别？
(2)如图，从 $ \odot O $ 外一点 $ P $ 引 $ \odot O $ 的两条切线 $ PA $ 和 $ PB $，切点分别为 $ A $ 和 $ B $，直线 $ PO $ 与 $ \odot O $ 交于点 $ C $ 和点 $ D $，这个图形被称为切线长定理的基本图形。连接 $ AB $，交直线 $ PO $ 于点 $ E $，则图中包含哪些正确的结论？
(3)切线长定理：________________________。

答案： 1.
(1)切线与切线长是两个不同的概念,切线是与圆有唯一公共点的直线,是一个“图形”,而切线长是指切线上一点与切点之间线段的长度,本质上是一个“数量”.
(2)提示:图中正确的结论可以从不同的层面进行分类,如边、角、弧、形等,每一个层面都可以从不同角度进行辨别,如边之间的数量关系和位置关系,图形的全等、对称等.
(3)从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

2. 阅读教材第 $ 99 $ 页“思考”，解决下列问题：
(1)三角形内面积最大的圆就是三角形的________。
(2)三角形的内心是三角形________，是三角形________的交点，到________的距离相等。

答案： 2.
(1)内切圆
(2)内切圆的圆心 三条角平分线 三角形三条边

1. 如图，$ P $ 为 $ \odot O $ 外一点，$ PA $，$ PB $ 分别切 $ \odot O $ 于 $ A $，$ B $ 两点，若 $ PA = 5 $，则 $ PB = $（ ）

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ 5 $

答案： 1.D

2. 如图，$ PA $，$ PB $ 是 $ \odot O $ 的切线，切点分别是 $ A $，$ B $。如果 $ OP = 4 $，$ \odot O $ 的半径是 $ 2 $，那么 $ \angle AOB $ 的度数为（ ）

A.$ 90^{\circ} $
B.$ 100^{\circ} $
C.$ 110^{\circ} $
D.$ 120^{\circ} $

答案： 2.D

3. 如图，$ PA $，$ PB $ 分别切 $ \odot O $ 于点 $ A $，$ B $，$ C $ 是 $ \odot O $ 上的一点，且 $ \angle ACB = 65^{\circ} $，则 $ \angle P = $________。

答案： 3.50°

4. 如图，四边形 $ ABCD $ 是 $ \odot O $ 的外切四边形，且 $ AB = 10 $，$ CD = 12 $，则四边形 $ ABCD $ 的周长为________。

答案： 4.44

1. 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ AC = 5 $，$ BC = 12 $，$ \odot O $ 与边 $ AB $，$ AC $ 相切，切点分别为 $ E $，$ C $，求 $ \odot O $ 的半径。

答案： 1.⊙O的半径为$\frac{10}{3}.$

2. 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 4 cm $，以边 $ BC $ 为直径在正方形 $ ABCD $ 内作半圆，过点 $ A $ 作半圆的切线，与半圆相切于点 $ F $，与 $ DC $ 相交于点 $ E $，则 $ \triangle ADE $ 的面积为________ $ cm^2 $。

答案： 2.6

1. 如图，点 $ I $ 是 $ \triangle ABC $ 的内心，$ \angle BIC = 130^{\circ} $，则 $ \angle BAC $ 的度数为（ ）

A.$ 60^{\circ} $
B.$ 65^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $

答案： 1.D

2. 如图是用直尺、含 $ 60^{\circ} $ 角的直角三角尺和光盘摆放而成的，$ A $ 为 $ 60^{\circ} $ 角的顶点，$ B $ 为光盘与直尺唯一的交点。若 $ AB = 3 $，则光盘的直径是（ ）

A.$ 6\sqrt{3} $
B.$ 3\sqrt{3} $
C.$ 6 $
D.$ 3 $

答案： 2.A

3. 如图，从 $ \odot O $ 外一点 $ P $ 引圆的两条切线 $ PA $，$ PB $，切点分别是 $ A $，$ B $，如果 $ \angle APB = 60^{\circ} $，$ PA = 6 $，那么弦 $ AB $ 的长是________。

答案： 3.6

4. 如图，$ \odot O $ 内切于正方形 $ ABCD $，$ O $ 为圆心，作 $ \angle MON = 90^{\circ} $，其两边分别交 $ BC $，$ CD $ 于点 $ N $，$ M $，若 $ CM + CN = 4 $，则 $ \odot O $ 的面积为（ ）

A.$ \pi $
B.$ 2\pi $
C.$ 4\pi $
D.$ 0.5\pi $

答案： 4.C

5. 如图，$ AB $，$ AC $ 是 $ \odot O $ 的切线，$ B $，$ C $ 为切点，$ \angle A = 50^{\circ} $，点 $ P $ 是圆上异于点 $ B $，$ C $，且在优弧 $ BMC $ 上的动点，则 $ \angle BPC $ 的度数是________。

答案： 5.65°

6. 如图，$ PA $，$ PB $，$ CD $ 是 $ \odot O $ 的切线，切点分别为 $ A $，$ B $，$ E $，直线 $ CD $ 分别交 $ PA $，$ PB $ 于点 $ C $，$ D $，若 $ \triangle PCD $ 的周长为 $ 18 cm $，$ \angle APB = 60^{\circ} $，求 $ \odot O $ 的半径。

答案： 6.⊙O的半径为$3\sqrt{3} cm.$

7. 如图，$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ CB $，$ CD $ 分别切 $ \odot O $ 于点 $ B $，$ D $，$ CD $ 交 $ BA $ 的延长线于点 $ E $，$ CO $ 的延长线交 $ \odot O $ 于点 $ G $，$ EF \perp OG $ 于点 $ F $。
（1）求证：$ \angle FEB = \angle ECF $；
（2）若 $ BC = 6 $，$ DE = 4 $，求 $ \odot O $ 的半径。

答案： 7.
(1)
∵ CB,CD分别切⊙O于点B,D,
∴ OB⊥BC,CO平分∠BCE,
即∠OBC = 90°,∠ECO = ∠BCO.
∴ ∠BCO + ∠COB = 90°.
又
∵ ∠COB = ∠FOE,
∴ ∠ECO + ∠FOE = 90°.
∵ EF⊥OG,
∴ ∠EFO = 90°.
∴ ∠FEB + ∠FOE = 90°.
∴ ∠FEB = ∠ECF.
(2)连接OD.
∵ CB,CD分别切⊙O于点B,D,
∴ CD = CB = 6,OD⊥CE.
∴ CE = CD + DE = 6 + 4 = 10.
在Rt△BCE中$,BE = \sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8.$
设⊙O的半径为r,则OD = OB = r,OE = 8 - r.
在Rt△ODE中,由勾股定理,得$r^{2} + 4^{2} = (8 - r)^{2}.$解得r = 3.
∴ ⊙O的半径为3.