《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

1. 已知方程$x^{2}+2x - 3 = 0$的根是$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$，则另一个方程$(2x + 3)^{2}+2(2x + 3)-3 = 0$的根是(C)

A.$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$
B.$x_{1}=1$，$x_{2}=3$
C.$x_{1}=-1$，$x_{2}=-3$
D.$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$

答案： 1.C

2. 若m，n分别是一元二次方程$x^{2}+3x - 1 = 0$的两个实数根，则$\frac{m^{3}+m^{2}n}{3m - 1}$的值为3。

答案： 2.3

3. 已知关于x的一元二次方程$kx^{2}+x - 3 = 0$，设此方程的两个实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，且满足$(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}x_{2}=4$，则$k=$\frac{1}{4}。

答案： 3.$\frac{1}{4}$

4. 若$a\neq b$，且$a^{2}-4a + 1 = 0$，$b^{2}-4b + 1 = 0$，则$\frac{1}{1 + a^{2}}+\frac{1}{1 + b^{2}}$的值为1。

答案： 4.1

5. 【方法学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“$a\geq0$”这一性质解决问题，这种解题的方法叫做配方法。配方法在今后的学习中有着广泛的应用。
例如：求$a^{2}+4a + 5$的最小值。
解：$a^{2}+4a + 2^{2}-2^{2}+5=(a + 2)^{2}+1$。
∵$(a + 2)^{2}\geq0$，
∴$(a + 2)^{2}+1\geq1$。
∴当$(a + 2)^{2}=0$，即$a = - 2$时，$a^{2}+4a + 5$有最小值，最小值为1。
【问题解决】
(1) 当x为何值时，代数式$x^{2}-6x + 7$有最小值，最小值为多少？
(2) 如图①是一组邻边长分别为7，$2a + 5$的长方形，其面积为$S_{1}$；图②是边长为$a + 6$的正方形，其面积为$S_{2}$，$a＞0$，请比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小，并说明理由。

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答案： 5.
(1)$x^{2}-6x + 7=x^{2}-6x + 9 - 9 + 7=(x - 3)^{2}-2$.
∵$(x - 3)^{2}\geq0$,
∴当$x - 3=0$,即$x=3$时,代数式$x^{2}-6x + 7$有最小值,最小值为$-2$.
(2)$S_{2}\geq S_{1}$.
理由：由题知，
$S_{1}=7(2a + 5)=14a + 35$,
$S_{2}=(a + 6)^{2}=a^{2}+12a + 36$,
则$S_{2}-S_{1}=a^{2}+12a + 36-(14a + 35)=a^{2}-2a + 1=(a - 1)^{2}$.
∵$(a - 1)^{2}\geq0$,
∴$S_{2}\geq S_{1}$,且当$a=1$时等号成立.