《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

4. 已知抛物线 $ y = ax^2 $ 经过点 $ A(-2, -8) $。
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点 $ B(-1, -4) $ 是否在此抛物线上；
(3)求此抛物线上纵坐标为 -6 的点的坐标。

答案： 4.
(1)
∵抛物线y = ax²经过点A(−2,−8),
∴a·(−2)² = −8.
∴a = −2.
∴此抛物线的函数解析式为y = −2x².
(2)把x = −1代入y = −2x²,得y = −2×1 = −2.
∴点B(−1,−4)不在此抛物线上.
(3)把y = −6代入y = −2x²,得−6 = −2x².
解得x = ±√3.
∴纵坐标为−6的点的坐标为(√3,−6)或(−√3,−6).

1. 老师出了一道题：已知 $ A(-1, y_1) $，$ B(-2, y_2) $，$ C(3, y_3) $ 三点都在二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 的图象上，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的大小关系是y₃＜y₂＜y₁。
小虎说：把 $ x $ 的值 -1，-2，3 分别代入解析式中，求出 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的值后比较即可；
小聪说：可以根据二次函数图象的对称性先把它们都转移到对称轴同侧，再借助二次函数的性质比较大小；
小亮说：我发现一个事实，抛物线开口向下时，其上的点离对称轴越远其纵坐标越小。
其实他们说得都对，你能根据他们的说法写出这三种解法吗？

答案： 1.小虎的解法:
当x = −1时,y₁ = −0.5;
当x = −2时,y₂ = −2;
当x = 3时,y₃ = −4.5.
∵−4.5＜−2＜−0.5,
∴y₃＜y₂＜y₁.
小聪的解法:
∵y = −1/2x²的图象关于y轴对称,
∴x = 3与x = −3的纵坐标都是y₃.
∵a = −1/2＜0,
∴抛物线开口向下.
且当x＜0时,y随x的增大而增大;当x＞0时,y随x的增大而减小.
∵−3＜−2＜−1＜0,
∴y₃＜y₂＜y₁.
小亮的解法:
∵在二次函数y = −1/2x²中,a = −1/2＜0,
∴抛物线开口向下,且对称轴为y轴.
∴其上的点离对称轴y轴越远,其纵坐标越小.
∵点A(−1,y₁),B(−2,y₂),C(3,y₃)三点都在二次函数y = −1/2x²的图象上,
∴0−(−1) = 1,0−(−2) = 2,3−0 = 3,3＞2＞1.
∴y₃＜y₂＜y₁.