《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

4. 据调查，某种传染病若有 1 人感染，经过两轮传染后共有 121 人感染，请计算这种传染病每轮传染中平均 1 个人传染了几个人。

答案： 4.设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人.
依题意,得$1+x+x(x+1)=121$.
解得$x_{1}=10,x_{2}=-12$(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均1个人传染了10个人.

1. 先阅读，再解答下列问题。
已知 $ (a^{2} + b^{2})^{4} - 8(a^{2} + b^{2})^{2} + 16 = 0 $，求 $ a^{2} + b^{2} $ 的值。
错解：设 $ (a^{2} + b^{2})^{2} = m $，
则原方程可化为 $ m^{2} - 8m + 16 = 0 $，
即 $ (m - 4)^{2} = 0 $。
解得 $ m = 4 $。
由 $ (a^{2} + b^{2})^{2} = 4 $，得 $ a^{2} + b^{2} = \pm 2 $。
（1）上述解答过程错在哪里？为什么？
（2）请你用以上方法求下列方程中 $ a^{2} + b^{2} $ 的值：$ (a^{2} + b^{2})^{2} - 14(a^{2} + b^{2}) + 49 = 100 $。

答案： 1.
(1)错误在于没有讨论$a^{2}+b^{2}$的取值范围.
理由：
因为$a^{2}+b^{2}$是非负数,
所以由$(a^{2}+b^{2})^{2}=4$,
得$a^{2}+b^{2}=2$.
(2)设$a^{2}+b^{2}=m$.
则原方程可化为
$m^{2}-14m+49=100$,
即$(m-7)^{2}=100$.
解得$m_{1}=17,m_{2}=-3$(舍去).
所以$a^{2}+b^{2}=17$.