《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

1. 函数 $ y = 2x^{2} + 1 $ 的图象与函数 $ y = 2x^{2} $ 的图象有什么关系？

答案： 抛物线$y = 2x^{2}+1$可由抛物线$y = 2x^{2}$向上平移$1$个单位长度得到

2. 函数 $ y = 2(x - 1)^{2} $ 的图象与函数 $ y = 2x^{2} $ 的图象有什么关系？

答案： 抛物线$y = 2(x - 1)^{2}$可由抛物线$y = 2x^{2}$向右平移$1$个单位长度得到

3. 函数 $ y = 2(x - 1)^{2} + 1 $ 的图象与函数 $ y = 2(x - 1)^{2} $ 的图象有什么关系？函数 $ y = 2(x - 1)^{2} + 1 $ 有哪些性质？

答案： 抛物线$y = 2(x - 1)^{2}+1$可由抛物线$y = 2(x - 1)^{2}$向上平移$1$个单位长度得到；性质：开口方向向上，对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,1)$，当$x = 1$时，函数有最小值，为$1$

阅读教材第 35~37 页的有关内容，回答下列问题：
1. 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
$ y = 2x^{2} $，$ y = 2x^{2} + 1 $，$ y = 2(x - 1)^{2} $，$ y = 2(x - 1)^{2} + 1 $。
根据图象填写下列表格：
思考：抛物线 $ y = 2x^{2} + 1 $，$ y = 2(x - 1)^{2} $，$ y = 2(x - 1)^{2} + 1 $ 可由抛物线 $ y = 2x^{2} $ 如何平移得到？
2. 总结：二次函数 $ y = a(x - h)^{2} + k(a \neq 0) $ 的图象和性质。
(1) 开口方向：$ a ＞ 0 $，开口向上；$ a ＜ 0 $，开口向下。
(2) 对称轴：直线$x = h$。
(3) 顶点：(h，k)。
(4) 最大(小)值：
当 $ a ＞ 0 $ 时，函数有最小值，为k；当 $ a ＜ 0 $ 时，函数有最大值，为k。

答案： 1.图象略.
填表如下：
| 抛物线 | $y = 2x^{2}$ | $y = 2x^{2}+1$ | $y = 2(x - 1)^{2}$ | $y = 2(x - 1)^{2}+1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向上 | 向上 | 向上 | 向上 |
| 对称轴 | $y$轴 | $y$轴 | 直线$x = 1$ | 直线$x = 1$ |
| 顶点坐标 | $(0,0)$ | $(0,1)$ | $(1,0)$ | $(1,1)$ |
思考:抛物线$y = 2x^{2}+1$可由抛物线$y = 2x^{2}$向上平移$1$个单位长度得到；
抛物线$y = 2(x - 1)^{2}$可由抛物线$y = 2x^{2}$向右平移$1$个单位长度得到；
抛物线$y = 2(x - 1)^{2}+1$可由抛物线$y = 2x^{2}$先向右平移$1$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度得到.
2.
(1)上 下
(2)直线$x = h$
(3)$h$ $k$
(4)小 $k$ 大 $k$

1. 二次函数 $ y = 2(x - 3)^{2} - 1 $ 的图象的对称轴为直线$x = 3$，顶点坐标为$(3,-1)$，图象与 $ y $ 轴的交点坐标为$(0,17)$。

答案： 1.$x = 3$ $(3,-1)$ $(0,17)$

2. 将抛物线 $ y = 3x^{2} $ 先沿 $ y $ 轴向下平移 5 个单位长度，再沿 $ x $ 轴向左平移 2 个单位长度，所得抛物线的解析式为$y = 3(x + 2)^{2}-5$。

答案： 2.$y = 3(x + 2)^{2}-5$

3. 若抛物线 $ y = -2(x + m - 1)^{2} - 3m + 6 $ 的顶点在第二象限，则 $ m $ 的取值范围是(C)

A.$ m ＞ 1 $
B.$ m ＜ 2 $
C.$ 1 ＜ m ＜ 2 $
D.$ -2 ＜ m ＜ -1 $

答案： 3.C

4. 如图，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 之间的关系为 $ y = -\frac{1}{12}(x - 4)^{2} + 3 $，由此可知铅球达到的最大高度是3m。

答案： 4.3