《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

某市广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一根高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水的水平距离为$\frac{1}{2}$米，建立如图所示的平面直角坐标系，你能求出此抛物线的解析式吗？

答案： $y = -8x^2 + 8x + 1$

阅读教材第39、40页的有关内容，回答下列问题：
1. 用待定系数法求函数解析式的一般步骤是什么？
2. 我们学过的二次函数的解析式有哪几种？如何根据已知条件的特点选择合适的方法求二次函数的解析式呢？让我们一起来填写下面的内容吧.
(1) 已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.
一般式：$y=ax^{2}+bx+c$（$a,b,c$是常数,$a\neq0$）.
(2) 已知抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法.
顶点式：$y=a(x-h)^{2}+k$（$a,h,k$是常数,$a\neq0$）.
(3) 已知抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法.
交点式：$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$（$a,x_{1},x_{2}$是常数,$a\neq0$,其中$x_{1},x_{2}$是抛物线与$x$轴的两个交点的横坐标）.

答案： 1.
(1)写出函数解析式的一般式,其中包括未知的系数；
(2)把自变量与对应的函数值代入函数的解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组.
(3)解方程(组)求出待定系数,从而写出函数解析式.2.
(1)$y=ax^{2}+bx+c$（$a,b,c$是常数,$a\neq0$）
(2)$y=a(x-h)^{2}+k$（$a,h,k$是常数,$a\neq0$）
(3)$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$（$a,x_{1},x_{2}$是常数,$a\neq0$,其中$x_{1},x_{2}$是抛物线与$x$轴的两个交点的横坐标）

1. 若二次函数$y = m(x - 2)^2 + m^2 - 1$的最小值是0，则此二次函数的解析式为$y=(x-2)^{2}$.

答案： 1.$y=(x-2)^{2}$

2. 将抛物线$y = 4x^2$先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为$y=4(x+2)^{2}+3$.

答案： 2.$y=4(x+2)^{2}+3$

3. 已知二次函数$y = ax^2 + 4x + c$，当$x = - 2$时，函数值是-1；当$x = 1$时，函数值是5. 则此二次函数的解析式为(A)

A.$y = 2x^2 + 4x - 1$
B.$y = x^2 + 4x - 2$
C.$y = - 2x^2 + 4x + 1$
D.$y = 2x^2 + 4x + 1$

答案： 3.A

4. 将抛物线$y = x^2 - 2x - 3$沿x轴翻折得到新抛物线的解析式是(A)

A.$y = - x^2 + 2x + 3$
B.$y = - x^2 - 2x + 3$
C.$y = - x^2 - 2x - 3$
D.$y = x^2 + 2x + 3$

答案： 4.A

1. 根据下列已知条件，求二次函数的解析式.
(1) 已知二次函数图象的顶点在原点，且过另一点$(2, - 4)$；
(2) 已知二次函数图象的顶点在y轴上，且纵坐标为2，过另一点$(1, 4)$；
(3) 已知二次函数图象的顶点在x轴上，且横坐标为2，过另一点$(1, - 4)$.

答案： 1.
(1)设二次函数的解析式为$y=ax^{2}$,把点$(2,-4)$代入,得$-4=4a$,解得$a=-1$.$\therefore$二次函数的解析式为$y=-x^{2}$.
(2)设二次函数的解析式为$y=ax^{2}+2$,把点$(1,4)$代入,得$4=a+2$.解得$a=2$.$\therefore$二次函数的解析式为$y=2x^{2}+2$.
(3)设二次函数的解析式为$y=a(x-2)^{2}$,把点$(1,-4)$代入,得$-4=a(1-2)^{2}$.解得$a=-4$.$\therefore$二次函数的解析式为$y=-4(x-2)^{2}$,即$y=-4x^{2}+16x-16$.