《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

7. 某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价为 20 元时每天能清洗 45 辆，定价为 25 元时每天能清洗 30 辆，假设清洗汽车辆数$y$（辆）与定价$x$（元）（$x$取整数）是一次函数关系。
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2) 若清洗一辆汽车定价不低于 15 元且不超过 50 元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计 200 元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获得的利润最大？最大利润是多少？

答案： 7.
(1)依题意，设$y$与$x$之间的函数解析式为$y=kx+b(k \neq 0)$.
则$\begin{cases}20k + b = 45,\\25k + b = 30.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3,\\b=105.\end{cases}$
$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y=-3x + 105$.
(2)设该汽车清洗店每天获得的利润为$w$元，由题意，知$w=xy - 200$
$=x(-3x + 105)-200$
$=-3x^{2}+105x - 200$
$=-3(x - 17.5)^{2}+718.75$.
$\because -3＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下.
$\because 15 \leqslant x \leqslant 50$，且$x$是整数，
$\therefore$当$x=17$或$x=18$时，$w$最大，
$w_{最大}=-3 × (18 - 17.5)^{2}+718.75=718$，
即当定价为$17$元或$18$元时，该汽车清洗店每天获得的利润最大，最大利润为$718$元.

8. 已知抛物线$y = x^2 - 4x$经过$A(x_1, t)$，$B(x_2, t)$，$C(m, n)$三点，且$x_1 ＜ x_2$。
(1) 用配方法求出此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(2) 当$t = 5$时，求点$A$和点$B$的坐标；
(3) 将点$C$先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到点$D$，若点$D$恰好落在此抛物线上，求$n$的值。

答案： 8.
(1)$y=x^{2}-4x$
$=x^{2}-4x + 4 - 4$
$=(x - 2)^{2}-4$，
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(2,-4)$，对称轴为直线$x=2$.
(2)$A(-1,5),B(5,5)$.
(3)$n$的值为$-\frac{7}{4}$.