《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

某学校操场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块面积为100平方米的长方形草坪CDEF（如图所示）。在四边形CDEF中，CD＜CF，已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。若计划的修建费为120元，问能否完成该草坪围栏的修建任务？
数学就在我们身边，你能帮助学校解决这个问题吗？

答案： 不能完成该草坪围栏的修建任务。

请同学们阅读教材第5~14页的有关内容，思考并回答下列问题：
1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方的关键是什么？
2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？求根公式是怎样推导出来的？
3. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
4. 一元二次方程的解法有哪几种？其基本思想是什么？它们之间有什么区别和联系？
5. 怎样利用$b^{2}-4ac$来判断一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$的根的情况？

答案： 1.配方法的步骤略.
配方的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方(二次项系数为1时).如果二次项系数为1，一次项系数为偶数，一般用配方法解.
2.公式法的步骤略.
求根公式是用配方法推导出来的.
3.略
4.一元二次方程的解法有：①配方法;②公式法;③因式分解法.
其基本思想是将二次方程化为一次方程，即降次.
在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用哪种方法.
联系：
①降次，它是解方程的基本思想.
②公式法是由配方法推导出来的.
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程.
④因式分解法适用于某些一元二次方程.
区别：
①配方法要先配方，再降次.
②公式法直接利用公式求根.根据$b^{2}-4ac$的符号可判断一元二次方程的根的情况.
③因式分解法要求使方程一边为两个一次因式的乘积，另一边为0，再使一次因式分别等于0.
5.当$b^{2}-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$b^{2}-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$b^{2}-4ac＜0$时，方程没有实数根.

1. 解方程$(x + 5)^{2}-3(x + 5)=0$，较简便的方法是(A)

A.因式分解法
B.配方法
C.公式法
D.以上三种方法都简便

答案： 1.A

2. 已知实数m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程$mx^{2}+x + n = 0$的根的情况是(B)


A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根

答案： 2.B