《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

已知某海岛周围呈圆形分布的区域有大小不等的暗礁，过往海轮若想避免闯入暗礁区域，则需测定哪些量？将这个问题抽象为数学问题该如何表述？怎样用数学的思维方式思考和解决问题？

答案： 需测定暗礁区域圆的半径和海轮到圆心的距离；抽象为判断点与圆的位置关系，已知半径$r$和点到圆心距离$d$，比较$d$与$r$大小，$d ＞ r$时点在圆外。

1. 阅读教材第92页“问题”的有关内容.
(1) 平面内，以点O为圆心，r为半径画圆，则该平面内的所有点被分为三类，到圆心O的距离小于r的所有点都在⊙O的内部，到圆心O的距离等于r的所有点都在⊙O上，到圆心O的距离大于r的所有点都在⊙O的外部.由此，点和圆的位置关系可分为三种，即点在圆内、点在圆上和点在圆外.
(2) 点和圆的三种位置关系所对应的数量关系是：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当点在圆外时，d＞r；当点在圆上时，d=r；当点在圆内时，d＜r.

答案： 1.
(1)到圆心O的距离等于r的所有点在圆上，到圆心O的距离大于r的所有点在圆外，到圆心O的距离小于r的所有点在圆内。
(2)d＞r时，点在圆外；d=r时，点在圆上；d＜r时，点在圆内。

2. 阅读教材第93页“探究”的有关内容.
(1) 作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小.
(2) 经过一个已知点作圆：以除已知点外的任意一点为圆心，以这一点到已知点的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个.
(3) 经过两个已知点作圆：以这两个已知点连线的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到已知点的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个.这些圆的圆心都在同一条直线上，这样作圆的依据是与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

答案： 2.
(1)确定一个圆需要确定圆心的位置和半径的大小。
(2)经过一个已知点作圆时，圆心是除已知点外的任意一点，半径是以这一点到已知点的距离，这样的圆有无数个。
(3)经过两个已知点作圆时，圆心是这两个已知点连线的垂直平分线上的任意一点，半径是这点到已知点的距离，这样的圆有无数个，这是因为与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3. 阅读教材第93、94页“经过三个点能不能作圆”的有关内容.
(1) 如图，经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆.
(2) 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等.
(3) 任意三角形都有外接圆吗？为什么？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心分别在什么位置？

答案： 3.
(1)略
(2)经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
(3)任意三角形都有外接圆，因为三角形三边的垂直平分线必交于一点。锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部。