《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

1. 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置后，所得新两位数与原两位数的积为 1612，求原两位数.
导学探究：
(1)设原两位数的个位数字为 $ x $，则十位数字为；
(2)原两位数表示为，十位数字与个位数字交换后的新两位数表示为；
(3)如果设个位数字为 $ x $，那么十位数字为 $ x + 4 $，可以吗？为什么？

答案： 1.
(1)$x+4$
(2)$10(x+4)+x$ $10x+x+4$
(3)不可以.理由：原数与新数都有个位数字、十位数字，这样设未知数指代不清楚.
解：设原两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x+4$.根据题意，得$[10(x+4)+x](10x+x+4)=$
1612.
解得$x_1=2,x_2=-6$(不合题意，舍去).
$\therefore10(x+4)+x=60+2=62$.
故原两位数是62.

2. 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手 1 次.
(1)若参加聚会的人数是 3，则共握手次；若参加聚会的人数是 5，则共握手次；
(2)若参加聚会的人数为 $ n $($ n $ 为正整数)，则共握手次；
(3)若参加聚会的人共握手 28 次，请求出参加聚会的人数；
(4)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段 $ AB $ 上共有 $ m $ 个点(不含端点 $ A $，$ B $)，线段总数为多少呢？请直接写出结论；
(5)嘉嘉给琪琪出题：“若在 $ \angle AOB $ 的内部由顶点 $ O $ 引出 $ m $ 条射线(不含 $ OA $，$ OB $ 边)，构成的角的总数为 20，求 $ m $ 的值. ”
琪琪的想法：“在这个问题上，构成的角的总数不可能为 20. ”琪琪的想法正确吗？请说明理由.

答案： 2.
(1)3 10
(2)$\frac{1}{2}n(n - 1)$
(3)参加聚会的人数为8.
(4)$\frac{1}{2}(m + 2)(m + 1)$
提示：$\because$线段$AB$上共有$m$个点(不含端点$A,B$)，
$\therefore$可当成共有$(m + 2)$个人握手.
$\therefore$线段总数为$\frac{1}{2}(m + 2)(m + 1)$.
(5)琪琪的想法正确.理由如下：
根据题意，得$\frac{1}{2}(m + 2)(m + 1)=20$.
解得$m=\frac{-3\pm\sqrt{161}}{2}$.
因为$m$为正整数，所以构成的角的总数不可能为20.