《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

6. 已知抛物线的解析式为$y = x^{2}-2mx + m^{2}-1$.
（1）求证：此抛物线与$x$轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线$y = x - 3m + 3$的一个交点在$y$轴上，求$m$的值.

答案： 6.
(1) $\because$ $a=1,b=-2m,c=m^{2}-1$,
$\therefore$ $b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}-1)=4＞0$.
$\therefore$方程$x^{2}-2mx+m^{2}-1=0$有两个不相等的实数根.
$\therefore$抛物线$y=x^{2}-2mx+m^{2}-1$与$x$轴必有两个不同的交点.
(2)把$x=0$代入$y=x^{2}-2mx+m^{2}-1$中，得$y=m^{2}-1$.
把$x=0$代入$y=x-3m+3$中，得$y=-3m+3$.
$\because$抛物线与直线的一个交点在$y$轴上，
$\therefore$ $m^{2}-1=-3m+3$.
解得$m_{1}=-4,m_{2}=1$.
$\therefore$ $m$的值为$-4$或$1$.

7. 如图，二次函数$y = -x^{2}+3x + 4$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$.
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）已知第一象限内的点$D(m,m + 1)$在此二次函数的图象上，探究$CD$与$x$轴的位置关系；
（3）在（2）的条件下，求点$D$关于直线$BC$的对称点$D'$的坐标.

答案：
7.
(1)$\because$ $y=-x^{2}+3x+4$
$=-(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{25}{4}$,
$\therefore$此二次函数图象的顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{25}{4})$.
(2)$\because$第一象限内的点$D(m,m+1)$在此二次函数的图象上，
$\therefore$ $-m^{2}+3m+4=m+1$.
解得$m_{1}=3,m_{2}=-1$(不合题意，舍去).
$\therefore$ $D(3,4)$.
对于$y=-x^{2}+3x+4$，
当$x=0$时，$y=4$.
$\therefore$ $C(0,4)$.
$\therefore$ $CD// x$轴.
(3)对于$y=-x^{2}+3x+4$，
令$y=0$，得$-x^{2}+3x+4=0$.
解得$x_{1}=4,x_{2}=-1$.
$\because$点$A$在点$B$的左侧，
$\therefore$ $A(-1,0),B(4,0)$.
又$\because$ $C(0,4)$，
$\therefore$ $OB=OC=4$.
$\because$ $\angle BOC=90^{\circ}$，
$\therefore$ $\angle BCO=\angle CBO=45^{\circ}$.
$\because$ $CD// x$轴，
$\therefore$ $\angle BCD=\angle CBO=45^{\circ}$.
$\therefore$ $\angle BCD=\angle BCO=45^{\circ}$.
$\because$点$D$关于直线$BC$的对称点为$D'$，
$\therefore$点$D'$在$y$轴上(如图所示)，则$CD'=CD=3$.

$\therefore$ $OD'=OC - CD'=4 - 3=1$.
$\therefore$点$D'$的坐标为$(0,1)$.