《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

2. 若 $x = 1$ 是一元二次方程 $x^2 - 2mx - 3 = 0$ 的一个根，则方程的另一个根为(A)

A.$x = -3$
B.$x = 3$
C.$x = 2$
D.$x = -2$

答案： 2.A

3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (a^2 - 2a)x + a - 1 = 0$ 的两个实数根互为相反数，则 $a$ 的值为(B)

A.$2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$ 或 $0$

答案： 3.B

4. 若实数 $a$，$b$ 分别满足 $a^2 - 6a + 4 = 0$，$b^2 - 6b + 4 = 0$，且 $a \neq b$，则 $a^2 + b^2 =$(C)

A.$36$
B.$50$
C.$28$
D.$25$

答案： 4.C

5. 若 $\alpha$，$\beta$ 是一元二次方程 $3x^2 + 2x - 9 = 0$ 的两个根，则 $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ 的值是(C)

A.$\frac{4}{27}$
B.$-\frac{4}{27}$
C.$-\frac{58}{27}$
D.$\frac{58}{27}$

答案： 5.C

6. (1) 一元二次方程 $2x^2 - 3x - 1 = 0$ 的两个根分别为 $x_1$，$x_2$，则 $x_1 + x_2 =$ $\frac{3}{2}$，$x_1x_2 =$ $-\frac{1}{2}$；
(2) 已知一元二次方程 $2x^2 - 3x - 1 = 0$ 的两个根分别为 $m$，$n$，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值；
(3) 已知实数 $s$，$t$ 分别满足 $2s^2 - 3s - 1 = 0$，$2t^2 - 3t - 1 = 0$，且 $s \neq t$，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值。

答案： 6.
(1)$\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2)
∵ 一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$ 的两个根分别为$m,n$，
∴ $m + n = \frac{3}{2},mn = - \frac{1}{2}$
∴ $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn}$
$= \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn}$
$= \frac{(\frac{3}{2})^2 - 2 × (-\frac{1}{2})}{- \frac{1}{2}}$
$= - \frac{13}{2}$.
(3)
∵ 实数$s,t$ 分别满足$2s^2 - 3s - 1 = 0,2t^2 - 3t - 1 = 0$，
∴ $s$ 与$t$ 可以看作是方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$ 的两个实数根.
∴ $s + t = \frac{3}{2},st = - \frac{1}{2}$
∴ $(s - t)^2 = (s + t)^2 - 4st = (\frac{3}{2})^2 - 4 × (-\frac{1}{2}) = \frac{17}{4}$.
∴ $s - t = \pm \frac{\sqrt{17}}{2}$
∵ $\frac{1}{s} - \frac{1}{t} = \frac{t - s}{st} = - \frac{(s - t)}{st}$，
∴ 当$s - t = \frac{\sqrt{17}}{2}$ 时，$\frac{1}{s} - \frac{1}{t} = - \frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{- \frac{1}{2}} = \sqrt{17}$；
当$s - t = - \frac{\sqrt{17}}{2}$ 时，$\frac{1}{s} - \frac{1}{t} = - \frac{- \frac{\sqrt{17}}{2}}{- \frac{1}{2}} = - \sqrt{17}$.
综上所述，$\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值为$\sqrt{17}$ 或$- \sqrt{17}$.

7. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - (2k - 1)x + k^2 - 2k + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根。
(1) 求实数 $k$ 的取值范围；
(2) 设方程的两个实数根分别为 $x_1$，$x_2$，是否存在实数 $k$，使得 $|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由。

答案： 7.
(1)
∵ 方程$x^2 - (2k - 1)x + k^2 - 2k + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，
∴ $\Delta ＞ 0$，
即$(2k - 1)^2 - 4(k^2 - 2k + 3) ＞ 0$.
∴ $4k - 11 ＞ 0$.
∴ $k ＞ \frac{11}{4}$.
∴ $k$ 的取值范围为$k ＞ \frac{11}{4}$.
(2)存在.
∵ 方程的两个实数
根分别为$x_1,x_2$，利用根与系数的关系
及$k ＞ \frac{11}{4}$，得$x_1 + x_2 = 2k - 1 ＞ 0$，
$x_1x_2 = k^2 - 2k + 3 = (k - 1)^2 + 2 ＞ 0$，
∴ $x_1,x_2$ 都是正数.
∵ $|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$，
∴ $x_1 - x_2 = \sqrt{5}$.
∴ $(x_1 - x_2)^2 = 5$.
∴ $(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 5$.
∴ $(2k - 1)^2 - 4(k^2 - 2k + 3) = 5$.
∴ $4k - 11 = 5$.
∴ $k = 4$.