《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

请同学们阅读教材第 24 页的内容，并回答下列问题：
1. 一元二次方程的定义是什么？一元二次方程有几种解法？解题步骤分别是什么？
2. 比较我们所学过的整式方程，说出它们的未知数的个数和次数。

3. 如何运用 $ b^{2} - 4ac $ 来判断一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的根的情况？
4. 结合具体问题认识本章知识结构图。仔细体会本章内容，你有哪些收获？做一份手抄报（也可以把难题和错题写进去）。

答案： 1.定义:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程.
解一元二次方程的方法有:配方法、公式法、因式分解法.
解题步骤略.
2.
未知数的个数 次数
一元一次方程 1 1
二元一次方程 2 1
三元一次方程 3 1
一元二次方程 1 2
3.
(1)当$b^{2}-4ac＞0$时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当$b^{2}-4ac=0$时,方程有两个相等的实数根;
(3)当$b^{2}-4ac＜0$时,方程没有实数根.
4.略

1. 用配方法解方程 $ x^{2} - 2x - 5 = 0 $ 时，原方程应变形为(B)

A.$ (x + 1)^{2} = 6 $
B.$ (x - 1)^{2} = 6 $
C.$ (x + 2)^{2} = 9 $
D.$ (x - 2)^{2} = 9 $

答案： 1.B

2. 公元 9 世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解法：先构造边长为 $ x $ 的正方形 $ ABCD $，再分别以 $ BC $，$ CD $ 为边作另一边长为 5 的长方形，最后得到四边形 $ AIFH $ 是面积为 64 的正方形，如图所示。花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程的解(C)


A.$ x^{2} + 10x = 25 $
B.$ x^{2} + 10x = 64 $
C.$ x^{2} + 10x = 39 $
D.$ x^{2} + 10x = 89 $

答案： 2.C

3. 解下列方程：
（1）$ 2(x - 3)^{2} - 1 = 31 $；
（2）$ 2x^{2} + 1 = 8x $；
（3）$ 3x^{2} - 4x - 1 = 0 $；
（4）$ (x + 4)^{2} = 5(x + 4) $。

答案： 3.
(1)$x_{1}=7,x_{2}=-1$
(2)$x_{1}=2+\frac{\sqrt{14}}{2},x_{2}=2-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(3)$x_{1}=\frac{2+\sqrt{7}}{3},x_{2}=\frac{2-\sqrt{7}}{3}$
(4)$x_{1}=-4,x_{2}=1$