《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

19. （10分）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB₁C₁，画出△AB₁C₁；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A₂B₂C₂；
（3）判断△A₂B₂C₂是否可由△AB₁C₁绕某点M旋转得到，若可以，请画出旋转中心M，并直接写出旋转中心M的坐标.

答案：
19.
(1)如图所示，△AB₁C₁即为所求.
(2)如图所示，△A₂B₂C₂即为所求.
(3)可以，旋转中心M的位置如图所示，点M的坐标为(0,-1).

20. （10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D为垂足，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，延长AE交CB的延长线于点F，延长EB交AD的延长线于点G，求证：EF=DG.

答案： 20.
∵△AEB由△ADC旋转而得，
∴△AEB≌△ADC.
∴∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠C，AE=AD.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABC=∠C.
∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA.
∵∠EBF=∠DBG，
∴∠EBA+∠EBF=∠DBA+∠DBG，即∠FBA=∠GBA.
在△AFB和△AGB中，
{
∠FAB=∠GAB，
AB=AB，
∠FBA=∠GBA，
}
∴△AFB≌△AGB.
∴AF=AG.
∵AD=AE，
∴AF - AE=AG - AD.
∴EF=DG.

21. （10分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为D，E.
（1）如图①，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数；
（2）如图②，若α=60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由.

答案： 21.
(1)∠DEC=15°.
(2)四边形CDEF是菱形.理由如下：
∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转一个角度α得到△DBE，
∴∠CBE=α=60°，∠DBE=∠ABC=30°，∠DEB=∠ACB=90°，BE=BC.
∴∠DBC=30°.
∴∠DBE=∠DBC.
又
∵BD=BD，
∴△DBE≌△DBC.
∴∠BED=∠BCD=90°.
∴CD=$\frac{1}{2}$BD，ED=$\frac{1}{2}$BD.
∵F为BD的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$BD.
∴CD=ED=CF=EF.
∴四边形CDEF是菱形.