《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，有人教他沿着门的两个对角斜着拿竹竿进屋，这个醉汉一试，不多不少刚好进去，你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。
设竹竿的长为$x$尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺。由勾股定理可列方程为$(x - 4)^2 + (x - 2)^2 = x^2$。
这个方程和我们以前学过的方程有什么不同？它有什么特征？想知道答案就让我们一起走进本学时的学习吧！

答案： 该方程是一元二次方程，特征为整式方程、一个未知数、未知数最高次数是2。

1. 下列哪些方程是一元一次方程？并写出一元一次方程的一般形式。
①$2x - 1$；②$2a = 3 - 4a$；③$\frac{1}{x} + 1 = 0$；④$3x + 8 = 0$；⑤$x^2 = 1$；⑥$m + n = 2$。

答案： 1.②④是一元一次方程，一元一次方程的一般形式是$kx + b = 0(k\neq0)$。

2. 请同学们阅读教材第2、3页的有关内容，并回答下列问题：
（1）对比一元一次方程，观察由教材中两个问题所得出的方程化简后的共同点，并写出它们的所有共同点。
（2）一元二次方程的定义是什么？
（3）一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定$a \neq 0$？对$b$，$c$有什么要求？

答案： 2.
(1)由教材中两个问题得出的两个方程有三个共同点：
①这两个方程的两边都是整式；
②这两个方程整理后都只含有一个未知数；
③按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数都是2。
(2)等号的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.
(3)一元二次方程的一般形式是$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$。若$a = 0$，方程就不是二次方程了，所以$a\neq0$。$b$，$c$表示常数，$b$，$c$可以取任意值（因此常见的一元二次方程还有$ax^{2}+bx = 0$，$ax^{2}+c = 0$，$ax^{2}=0$）。

1. 下列方程是关于$x$的一元二次方程的是(D)

A.$4x^2 + \frac{3}{x} + 2 = 0$
B.$2x^2 - y - 1 = 0$
C.$ax^2 + bx + c = 0$
D.$4x^2 + 3x + 2 = 0$

答案： 1.D

2. 一元二次方程$(x + 3)(x - 1) = 2x - 1$化为一般形式后，其二次项、一次项系数、常数项分别是(C)

A.$1$，$2x$，$-2$
B.$1$，$2x$，$-1$
C.$x^2$，$0$，$-2$
D.$x^2$，$0$，$2$

答案： 2.C