《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

4. 某商品的利润 $ y $(元)与售价 $ x $(元)之间的函数解析式为 $ y=-x^{2}+8x + 9 $，且售价 $ x $ 的范围是 $ 1 \leq x \leq 3 $，则最大利润是(C)

A.$ 16 $ 元
B.$ 21 $ 元
C.$ 24 $ 元
D.$ 25 $ 元

答案： 4.C

小明在“生活中的数学”探究活动中，经调查，研究了某种商品的售价、日销量、利润之间的变化关系，整理出该商品的相关数据如下表所示.

已知该商品的进价为每件 $ 10 $ 元，设每天销售该商品的利润为 $ y $ 元.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式；
(2) 销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

答案：
(1)当$1\leq x＜30$时，
y=(100-2x)(x+40-10)
$=-2x^2+40x+3000，$
当$30\leq x\leq50$时，
y=(100-2x)(70-10)=-120x+6000.
综上所述，y与x的函数解析式为
$y=\begin{cases}-2x^2 + 40x + 3000(1\leq x＜30), \\-120x + 6000(30\leq x\leq50).\end{cases}$
(2)当$1\leq x＜30$时，
$y=-2x^2+40x+3000$
$=-2(x-10)^2+3200，$
∵-2＜0，
当x=10时，$y_{最大}=3200.$
当$30\leq x\leq50$时，
y=-120x+6000中y随x的增大
而减小，
当x=30时，
$y_{最大}=-120×30+6000=2400.$
综上所述，销售该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元.

解决二次函数最大利润问题的一般步骤：
(1) 列出二次函数的，并根据自变量的实际意义，确定自变量的；
(2) 在自变量的内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值.

答案：
(1) 解析式；取值范围；
(2)取值范围

1. 某商店经营一种皮鞋，已知所获利润 $ y $(元)与销售单价 $ x $(元)之间的关系式为 $ y=-x^{2}+24x + 2956 $，则获利最多为(B)

A.$ 3144 $ 元
B.$ 3100 $ 元
C.$ 144 $ 元
D.$ 2956 $ 元

答案： 1.B

2. 某超市对进价为 $ 10 $ 元/千克的某种水果的销售情况进行统计，发现每天销售量 $ y $（千克）与销售价 $ x $（元/千克）存在一次函数关系，如图所示.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式（不要求写出 $ x $ 的取值范围）；
(2) 应怎样确定销售价，才能使该品种水果每天的销售利润最大？最大利润是多少？

答案： 2.
(1)设y与x的函数解析式为$y=kx+b(k\neq0)，$由图象可知，
$\begin{cases}20k+b=20,\\30k+b=0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=60.\end{cases}$
y与x的函数解析式为y=-2x+60.
(2)设该品种水果每天的销售利润为p元.
p=(x-10)y
=(x-10)(-2x+60)
$=-2x^2+80x-600.$
∵a=-2＜0，
当$x=-\frac{80}{-2×2}=20$时，p取得最大值，最大值为200.
当销售价格为20元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润为200元.