《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

23. (10分)阅读并完成下列问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮是这样研究的：
设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意可得方程组
$\begin{cases}x + y = \frac{7}{2} \\ xy = 3\end{cases}$
消去y，得$2x^2 - 7x + 6 = 0$.
$\because \Delta = 49 - 48 = 1 ＞ 0$，
$\therefore x_1 =$$\frac{3}{2}$，$x_2 =$2.
$\therefore$满足要求的矩形B存在.
(2)如果已知矩形A的两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B；
(3)如果矩形A的两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由.

答案： 23.
(1)$\frac{3}{2}$ 2
(2)设所求矩形的两边长分别是$a,b$,由题意,得$\begin{cases}a + b=\frac{3}{2}\\ab = 1\end{cases}$
消去$b$,得$2a^{2}-3a + 2 = 0$.
$\because\Delta=9 - 16 = -7＜0$,
$\therefore$此方程无实数根.
$\therefore$不存在满足要求的矩形B.
(3)当$m,n$满足$(m - n)^{2}-4mn\geq0$时,矩形B存在.理由如下：
设所求矩形的两边长分别是$p$和$q$,由题意,得$\begin{cases}p + q=\frac{m + n}{2}\\pq=\frac{mn}{2}\end{cases}$
消去$q$,得$2p^{2}-(m + n)p + mn = 0$.
$\therefore\Delta=[-(m + n)]^{2}-8mn=(m - n)^{2}-4mn$.
当$\Delta\geq0$时,存在满足要求的矩形B,即当$(m - n)^{2}-4mn\geq0$时,矩形B存在.

24. (10分)如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. 若点P，Q分别从点A，B同时出发，其中任意一点到达终点时，两点同时停止运动. 设运动的时间为x s，求：
(1)6s时，$BP =$6cm，$BQ =$12cm；
(2)运动几秒时，$\triangle BPQ$是直角三角形？
(3)运动几秒时，$\triangle BPQ$的面积等于$10\sqrt{3}cm^2$？

答案：
24.
(1)6 12
(2)$\because\triangle ABC$是等边三角形,
$\therefore AB = BC = 12$cm,$\angle A=\angle B = \angle C = 60^{\circ}$.
由题意可知,$BP=(12 - x)$cm,$BQ = 2x$cm.
当$\angle PQB = 90^{\circ}$时,$\angle BPQ = 30^{\circ}$,
$\therefore BP = 2BQ$.
$\therefore12 - x = 2×2x$.
$\therefore x=\frac{12}{5}$.
当$\angle QPB = 90^{\circ}$时,$\angle PQB = 30^{\circ}$,
$\therefore BQ = 2BP$.
$\therefore2x = 2(12 - x)$.
$\therefore x = 6$.
答:运动6s或$\frac{12}{5}$s时,$\triangle BPQ$是直角三角形.
(3)如图,过点$Q$作$QD\perp AB$于点$D$,

$\therefore\angle QDB = 90^{\circ}$.
$\therefore\angle DQB = 30^{\circ}$.
$\therefore DB=\frac{1}{2}BQ=x$cm.
在$Rt\triangle DBQ$中,由勾股定理,得$DQ=\sqrt{3}x$cm.
$\therefore\frac{(12 - x)×\sqrt{3}x}{2}=10\sqrt{3}$.
解得$x_{1}=10,x_{2}=2$.
$\because$当$x = 10$时,$2x＞12$,
$\therefore x = 10$不合题意,应舍去.
$\therefore x = 2$.
答:运动2s时,$\triangle BPQ$的面积等于$10\sqrt{3}$cm².