《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x + kb + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则一次函数 $y = kx + b$ 的图象可能是(B)


A.
B.
C.
D.

答案： 4. B

5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$，其中 $a$，$b$，$c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三边长。
(1) 如果 $x = - 1$ 是此方程的根，试判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由；
(2) 如果此方程有两个相等的实数根，试判断 $\triangle ABC$ 的形状，并说明理由；
(3) 如果 $\triangle ABC$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。

答案： 5.
(1) $\triangle ABC$ 是等腰三角形.
理由:把 $x = -1$ 代入原方程,得 $a + c - 2b + a - c = 0$.
$\therefore$ $a = b$.
$\therefore$ $\triangle ABC$ 是等腰三角形.
(2) $\triangle ABC$ 是直角三角形.
理由:$\because$ 此方程有两个相等的实数根,
$\therefore$ $(2b)^2 - 4(a + c)(a - c) = 0$.
$\therefore$ $b^2 - a^2 + c^2 = 0$.
$\therefore$ $a^2 = b^2 + c^2$.
$\therefore$ $\triangle ABC$ 是直角三角形.
(3) 如果 $\triangle ABC$ 是等边三角形,
那么 $a = b = c$.
$\therefore$ 方程可化为 $2ax^2 + 2ax = 0$.
$\therefore$ $2ax(x + 1) = 0$.
$\therefore$ 此方程的根为 $x_1 = 0,x_2 = -1$.