《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

5. 超市购进某种苹果，如果进价增加 $ 2 $ 元/千克，那么要用 $ 300 $ 元；如果进价减少 $ 2 $ 元/千克，那么同样数量的苹果只用 $ 200 $ 元.
(1) 求这种苹果的进价；
(2) 如果购进这种苹果不超过 $ 100 $ 千克，那么就按原价购进；如果购进这种苹果超过 $ 100 $ 千克，那么超过部分的购进价格减少 $ 2 $ 元/千克. 写出购进这种苹果的支出 $ y $（元）与购进数量 $ x $（千克）之间的函数解析式；
(3) 该超市一天购进这种苹果数量不超过 $ 300 $ 千克，且购进的苹果当天全部销售完. 据统计，销售价格 $ z $（元/千克）与一天的销售数量 $ x $（千克）之间的函数解析式为 $ z=-\frac{1}{100}x + 12 $. 在(2)的条件下，要使该超市销售这种苹果的利润 $ w $（元）最大，求一天购进这种苹果的数量.（利润 = 销售收入 - 购进支出）

答案： 5.
(1)设这种苹果的进价为a元/千克，
由题意，得$\frac{300}{a+2}=\frac{200}{a-2}.$
解得a=10.
经检验，a=10是所列分式方程的解，且符合题意.
答：这种苹果的进价为10元/千克
(2)当$x\leq100$时，y=10x，
当x＞100时，$y=10×100+(10-2)\cdot(x-100)=8x+200，$
$y=\begin{cases}10x(x\leq100),\\8x + 200(x＞100).\end{cases}$
(3)当$x\leq100$时，
w=zx-y
$=(-\frac{1}{100}x+12)x-10x$
$=-\frac{1}{100}x^2+2x$
$=-\frac{1}{100}(x-100)^2+100，$
∵$-\frac{1}{100}＜0，$
当x=100时，w最大，$w_{最大}=100.$
当x＞100时，
w=zx-y
$=(-\frac{1}{100}x+12)x-(8x+200)$
$=-\frac{1}{100}x^2+4x-200$
$=-\frac{1}{100}(x-200)^2+200，$
∵$-\frac{1}{100}＜0，$
当x=200时，w最大，$w_{最大}=200.$
综上所述，要使该超市销售这种苹果的利润最大，一天购进这种苹果的数量为200千克.