《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

1. 已知 $\odot O$ 的半径为 $6\mathrm{cm}$，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $7\mathrm{cm}$，则直线 $l$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 (C)

A.相交
B.相切
C.相离
D.相交或相离

答案： 1.$C$

2. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $AB$ 的延长线上，$CD$ 切 $\odot O$ 于点 $D$，连接 $AD$. 若 $\angle A = 25^{\circ}$，则 $\angle C=$40$^{\circ}$.

答案： 2.40

3. 如图，已知 $\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$，$BC$ 是 $\odot O$ 的直径，$MN$ 与 $\odot O$ 相切，切点为 $A$. 若 $\angle MAB = 30^{\circ}$，则 $\angle B$ 的度数为$60^{\circ}$.

答案： 3.$60^{\circ}$

4. 如图，已知 $AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$AP$ 是 $\odot O$ 的切线，$A$ 是切点，$BP$ 与 $\odot O$ 交于点 $C$. 若 $D$ 为 $AP$ 的中点，求证：直线 $CD$ 是 $\odot O$ 的切线.

答案：
4.如图,连接$OC,AC$.

$\because AB$是$\odot O$的直径,
$\therefore \angle BCA=90^{\circ}$.
$\therefore \angle ACP=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle APC$中,$D$为$AP$的中点,
$\therefore CD=\frac{1}{2}AP=AD$.
$\therefore \angle DAC=\angle DCA$.
又$\because OC=OA$,
$\therefore \angle OAC=\angle OCA$.
$\because PA$是$\odot O$的切线,$A$为切点,
$\therefore \angle PAB=90^{\circ}$.
$\therefore \angle OAC+\angle DAC=\angle PAB=90^{\circ}$.
$\therefore \angle OCA+\angle DCA=\angle OCD=90^{\circ}$,即$OC\perp CD$.
$\therefore$直线$CD$是$\odot O$的切线.

如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$ 是 $\odot O$ 上的一点，直线 $MN$ 经过点 $C$，过点 $A$ 作直线 $MN$ 的垂线，垂足为 $D$，且 $\angle BAC = \angle CAD$.
(1) 求证：直线 $MN$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 若 $CD = 3$，$\angle CAD = 30^{\circ}$，求 $\odot O$ 的半径.

答案：
(1)连接$OC$.
$\because OA=OC$,
$\therefore \angle BAC=\angle ACO$.
$\because \angle BAC=\angle CAD$,
$\therefore \angle ACO=\angle CAD$.
$\therefore OC// AD$.
又$\because AD\perp MN$,
$\therefore OC\perp MN$.
$\therefore$直线$MN$是$\odot O$的切线.
(2)$\because AB$是$\odot O$的直径,
$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$.
$\because AD\perp MN$,
$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$.
$\because CD=3,\angle CAD=30^{\circ}$,
$\therefore AC=6$.
$\because \angle BAC=\angle CAD=30^{\circ}$,
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$.
故根据勾股定理可求得$AB=4\sqrt{3}$.
$\therefore \odot O$的半径为$2\sqrt{3}$.