《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

19. (7分)如图，已知抛物线y = ax² + bx + c(a ≠ 0)与x轴交于点A(1, 0)，B(3, 0)，且过点C(0, -3).
(1) 求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2) 请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y = -x上，并写出平移后抛物线的解析式.

答案： 19.（1）
∵ 抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0)，
∴ 设抛物线的解析式为y = a(x - 1)(x - 3)，
把点C(0, - 3)代入，得3a = - 3。
解得a = - 1。
故抛物线的解析式为y = -(x - 1)·(x - 3)，
即y = -x² + 4x - 3。
∵ y = -x² + 4x - 3 = -(x - 2)² + 1，
∴ 抛物线的顶点坐标为(2,1)。
（2）如：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y = -x²，平移后抛物线的顶点落在直线y = -x上。

20. (9分)某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.
(1) 不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x ＞ 40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具获得的利润w(元)，并把结果填写在表格中：

(2) 在(1)中条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元；
(3) 在(1)中条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润.

答案： 20.（1）1000 - 10x - 10x² + 1300x - 30000
（2）依题意，得
-10x² + 1300x - 30000 = 10000，
解得x₁ = 50,x₂ = 80。
答：该玩具销售单价定为50元或80元时，可获得10000元销售利润。
（3）依题意，得{1000 - 10x≥540,x≥44}
解得44≤x≤46。
w = -10x² + 1300x - 30000 = -10(x - 65)² + 12250。
∵ a = - 10＜0，对称轴为直线x = 65，
∴ 当44≤x≤46时，y随x的增大而增大。
∴ 当x = 46时，w最大 = 8640（元）。
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元。