《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

足球场上，进攻方的三名队员分别在如图所示的$A$，$B$，$C$三个进攻点做射门准备，此时$A$，$B$，$C$三点恰好在以$EF$为弦的同一个圆上。你认为在哪个进攻点射门的角度最大？说说你的看法或理由。

答案： 【解析】：因为A、B、C三点在以EF为弦的同一个圆上，所以∠AEF、∠BEF、∠CEF是EF所对的圆周角。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，故三个角大小相等，射门角度一样大。
【答案】：三个进攻点射门角度一样大

1. 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

答案： 1. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角

2. 教材第85页图24.1 - 11中，圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，这两个角的数量关系是∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB或∠AOB = 2∠ACB。

答案： 2. ∠ACB　∠AOB　∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB或∠AOB = 2∠ACB

3. 如图，$\overset{\frown}{CB}$所对的圆周角有∠CAB，∠CDB，圆心角有∠COB，它们对着同一条弧，它们之间的数量关系是∠CAB = ∠CDB = $\frac{1}{2}$∠COB。

答案： 3. ∠CAB，∠CDB　∠COB　∠CAB = ∠CDB = $\frac{1}{2}$∠COB

4. 阅读教材第86页的内容，并解决下面的问题：
(1) 在论证圆周角定理时，分几种情况进行证明？分类的依据是什么？
(2) 教材中在证明圆周角定理时，作了哪些辅助线？这些辅助线在证明过程中起到了怎样的作用？证明过程中渗透了哪些数学思想？

答案： 4.
(1)依据圆心与圆周角的不同位置关系，分三种情况进行证明：①圆心在圆周角的一条边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.
(2)辅助线是过点A作⊙O的直径，这样可以把“圆心不在圆周角边上”的两种情况转化为“圆心在圆周角的一条边上”这种特殊情况，渗透了分类思想和转化思想.

5. 归纳圆周角定理及其推论。
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

答案： 5. 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径

6. 完成教材第87页例4。依据“直径所对的圆周角是直角”得$\angle ACB=\angle ADB = 90^{\circ}$；依据勾股定理求得$BC = 8cm$；依据角平分线定义和圆周角定理得$\angle AOD=\angle BOD$。

答案： 6. 直径所对的圆周角是直角，角平分线，圆周角

7. 阅读教材第87页例4下面的内容。
(1) 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
(2) 圆心角的度数等于它所对的弧的度数，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
(3) 在教材图24.1 - 17中，四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，$\odot O$是四边形$ABCD$的外接圆。$\angle A$和$\angle C$是圆周角，它们所对的弧拼成圆周，故$\angle A+\angle C=$180°。同理(或依据四边形的内角和)可得$\angle B+\angle D=$180°，即圆内接四边形的对角互补。

答案： 7.
(1)圆内接多边形，外接圆
(2)度数，一半
(3)内接四边形，外接圆，180°，180°，圆内接四边形的对角互补