《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(0,2)$，点B的坐标为$(4,2)$. 若抛物线$y = - \frac{3}{2}(x - h)^2 + k$($h,k$为常数)与线段AB交于C，D两点，点A，B关于抛物线的对称轴对称，且$CD = \frac{1}{2}AB$，则抛物线的解析式为$y=-\frac{3}{2}(x-2)^{2}+\frac{7}{2}$.

答案： 5.$y=-\frac{3}{2}(x-2)^{2}+\frac{7}{2}$

6. 如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c$与x轴交于O，A两点，$C(2,5)$是抛物线的顶点.
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 作$CD \perp x$轴于点D，P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OP，若OP恰好平分$\triangle COD$的面积，求点P的坐标.

答案： 6.
(1)此抛物线的解析式为$y=-\frac{5}{4}x^{2}+5x$.
(2)$\because OP$恰好平分$\triangle COD$的面积,$\therefore OP$经过$CD$的中点$(2,\frac{5}{2})$.设直线$OP$的解析式为$y=kx(k\neq0)$,$\therefore2k=\frac{5}{2}$.解得$k=\frac{5}{4}$.$\therefore$直线$OP$的解析式为$y=\frac{5}{4}x$.$\because$直线$OP$与抛物线$y=-\frac{5}{4}x^{2}+5x$交于点$O,P$,$\begin{cases}y=\frac{5}{4}x,\\y=-\frac{5}{4}x^{2}+5x.\end{cases}$解得$\begin{cases}x_{1}=0,\\y_{1}=0,\end{cases}\begin{cases}x_{2}=3,\\y_{2}=\frac{15}{4}.\end{cases}$$\therefore$点$P$的坐标为$(3,\frac{15}{4})$.

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过$A(-4,0)$，$B(0,-4)$，$C(2,0)$三点.
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，$\triangle AMB$的面积为S. 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.

答案： 7.
(1)此抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}+x-4$.
(2)$S$关于$m$的函数关系式为$S=-m^{2}-4m$.$S$的最大值为$4$.