《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

1. 已知函数$y = (|m| - 1)x^2 + (m + 1)x + 3$。
(1) 若这个函数是一次函数，则$m$的值为1；
(2) 若这个函数是二次函数，则$m$的取值范围为$m \neq 1$且$m \neq -1$。

答案： 1.
(1)1
(2)$m \neq 1$且$m \neq -1$

2. 若抛物线$y = (x - m)^2 + (m + 1)$的顶点在第一象限，则$m$的取值范围为(B)

A.$m ＞ 1$
B.$m ＞ 0$
C.$m ＞ -1$
D.$-1 ＜ m ＜ 0$

答案： 2.B

3. 在平面直角坐标系中，二次函数$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的图象如图所示，现给出以下结论：①$abc ＜ 0$；②$c + 2a ＜ 0$；③$9a - 3b + c = 0$；④$a - b \geq m(am + b)$($m$为实数)；⑤$b^2 - 4ac ＞ 0$。其中正确的结论有(D)


A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 3.D

4. 如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴交于$A(1, 0)$，$B(3, 0)$两点，与$y$轴交于点$C(0, 3)$。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若$D(\frac{7}{2}, m)$是抛物线$y = ax^2 + bx + c$上的一点，请求出$m$的值。

答案： 4.
(1)由题意，得$\begin{cases}a+b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\c=3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=-4,\\c=3.\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^{2}-4x+3$.
(2)把点$D(\frac{7}{2},m)$代入函数解析式$y=x^{2}-4x+3$中，得$m=(\frac{7}{2})^{2}-4 × \frac{7}{2}+3=\frac{5}{4}$.

如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，且点$A$的坐标为$(-3, 0)$，抛物线顶点$P$的坐标为$(-1, -4)$，经过点$B$的一次函数$y = x - 1$的图象交抛物线于点$D$。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 当二次函数值小于一次函数值时，求$x$的取值范围；
(3) 求$\triangle BPD$的面积。

答案：
(1)设点$B$的坐标为$(m,0)$.
$\because$一次函数$y=x - 1$的图象经过点$B$，
$\therefore 0=m - 1$.
$\therefore m=1$.
$\therefore$点$B$的坐标为$(1,0)$.
$\because$抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过点$A(-3,0),B(1,0),P(-1,-4)$，
$\therefore$把点$A,B,P$的坐标分别代入$y=ax^{2}+bx+c$中，得$\begin{cases}9a - 3b + c = 0,\\a + b + c = 0,\\a - b + c = -4.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\\c=-3.\end{cases}$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=x^{2}+2x - 3$.
(2)由$\begin{cases}y=x - 1,\\y=x^{2}+2x - 3,\end{cases}$
得$\begin{cases}x_{1}=-2,\\y_{1}=-3,\end{cases}\begin{cases}x_{2}=1,\\y_{2}=0.\end{cases}$
$\therefore D(-2,-3)$.
由图象可得当二次函数值小于一次函数值时，$x$的取值范围为$-2＜x＜1$.
(3)$\triangle BPD$的面积为$3$.