《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

3. 某工厂加工一种产品的成本为 $ 30 $ 元/千克，根据市场调查发现，批发价定为 $ 48 $ 元/千克时，每天可销售 $ 500 $ 千克. 为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克每降低 $ 1 $ 元，每天销量可增加 $ 50 $ 千克.
(1) 求工厂每天的利润 $ y $ 元与每千克降价 $ x $ 元之间的函数解析式；
(2) 当每千克降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大利润为多少元？
(3) 请直接写出当定价设在什么范围时，可使工厂每天的利润不低于 $ 9750 $ 元？

答案： 3.
(1)由题意，得$y=(48-30-x)\cdot(500+50x)=-50x^2+400x+9000，$
函数解析式为$y=-50x^2+400x+9000.$
(2)由
(1)得
$y=-50x^2+400x+9000$
$=-50(x-4)^2+9800，$
∵-50＜0，
当x=4时，y取得最大值，最大值为9800.
当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，最大利润为9800元.
(3)定价设在$43\sim45$元/千克之间(含43元/千克和45元/千克)时，可使工厂每天的利润不低于9750元.

4. 某企业准备对 $ A $，$ B $ 两个生产项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资 $ A $ 项目一年后的收益 $ y_{A} $（万元）与投入资金 $ x $（万元）的函数解析式为 $ y_{A}=\frac{2}{5}x $，投资 $ B $ 项目一年后的收益 $ y_{B} $（万元）与投入资金 $ x $（万元）的函数解析式为 $ y_{B}=-\frac{1}{5}x^{2}+2x $.
(1) 若将 $ 10 $ 万元资金投入 $ A $ 项目，一年后获得的收益是多少？
(2) 若对 $ A $，$ B $ 两个项目投入相同的资金 $ m(m ＞ 0) $ 万元，一年后两者获得的收益相等，则 $ m $ 的值是多少？
(3) 我国对小微企业施行了所得税优惠政策. 该企业将由此获得的减免税款及其他结余资金共计 $ 32 $ 万元全部投入 $ A $，$ B $ 两个项目中，当 $ A $，$ B $ 两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？

答案： 4.
(1)4万元.
(2)m的值为8.
(3)设投入B项目的资金为x万元，则投入A项目的资金为(32-x)万元，总收益为y万元，
y=y_A+y_B
$=\frac{2}{5}(32-x)+(-\frac{1}{5}x^2+2x)$
$=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x+\frac{64}{5}$
$=-\frac{1}{5}(x-4)^2+16.$
∵$0\leq x\leq32，$
当x=4时，$y_{最大}=16.$
32-x=32-4=28.
当A，B两个项目分别投入28万元，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元.