《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

1. 如图，直角三角尺$30^{\circ}$角的顶点$P$落在$\odot O$上，两边分别交$\odot O$于点$A$，$B$，连接$AO$，$BO$，则$\angle AOB$的度数是(B)

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$80^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

答案： 1.B

2. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，$\odot O$经过点$A$，$C$，$D$，与$BC$交于点$E$，连接$AE$，若$\angle D = 70^{\circ}$，则$\angle BAE$的度数为(C)

A.$70^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： 2.C

3. 如图，$C$，$D$是$\odot O$的直径$AB$两侧的点，若$\angle ABC = 20^{\circ}$，则$\angle D$的度数为(C)

A.$60^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： 3.C

4. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点$C$在半圆上。点$A$，$B$的读数分别为$86^{\circ}$，$30^{\circ}$，则$\angle ACB$的度数为(B)

A.$15^{\circ}$
B.$28^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$34^{\circ}$

答案： 4.B

5. 如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，$AB$为$\odot O$的直径，$\angle CAB = 60^{\circ}$，弦$AD$平分$\angle CAB$，若$AD = 6$，则$AC =$2$\sqrt{3}$。

答案： 5.2$\sqrt{3}$

6. 如图，四边形$ABCD$内接于圆，连接$AC$，$BD$。
(1) 若$\angle DAB = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 70^{\circ}$，求$\angle ABD$的度数；
(2) 若$AC$为直径，$C$为$\overset{\frown}{BD}$的中点，请探究$\angle DAB$与$\angle ACB$之间的关系。

答案： 6.
(1)
∵ ∠ACB = 70°，
∴ ∠ADB = ∠ACB = 70°.
∵ ∠DAB = 60°，
∴ ∠ABD = 180° - 70° - 60° = 50°.
(2)
∵ C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ ∠CAB = ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠DAB.
∵ AC为直径，
∴ ∠ABC = 90°.
∴ ∠CAB + ∠ACB = 90°.
∴ $\frac{1}{2}$∠DAB + ∠ACB = 90°.

7. 如图，在$\odot O$中，$AB$，$AC$为弦，$CD$为直径，$AB\perp CD$于点$E$，$BF\perp AC$于点$F$，$BF$与$CD$相交于点$G$。
(1) 求证：$ED = EG$；
(2) 若$AB = 8$，$OG = 1$，求$\odot O$的半径。

答案：
7.
(1)如图，连接BD.
∵ AB ⊥ CD，BF ⊥ AC，
∴ ∠CFG = ∠GEB = 90°.
∴ ∠C + ∠CGF = 90°，∠GBE + ∠BGE = 90°.
∵ ∠CGF = ∠BGE，
∴ ∠C = ∠GBE.
∵ ∠C = ∠DBE，
∴ ∠GBE = ∠DBE.
∵ AB ⊥ CD，
∴ ∠GEB = ∠DEB = 90°.
在△GBE和△DBE中，
$\begin{cases} \angle GEB = \angle DEB, \\ BE = BE, \\ \angle GBE = \angle DBE, \end{cases}$
∴ △GBE ≌ △DBE.
∴ ED = EG.

(2)如图，连接OA.
设OA = r，则DG = OD + OG = r + 1.
由
(1)可知ED = EG.
∴ OE = $\frac{r - 1}{2}$.
∵ AB ⊥ CD，AB = 8，
∴ ∠AEO = 90°，AE = BE = 4.
在Rt△OAE中，根据勾股定理，得$OE^{2} + AE^{2} = OA^{2}$，
即$(\frac{r - 1}{2})^{2} + 4^{2} = r^{2}$.
解得$r_{1} = \frac{13}{3}$，$r_{2} = - 5$(舍去).
∴ ⊙O的半径为$\frac{13}{3}$.