《2025年新课程问题解决导学方案九年级数学上册人教版》

6. 阅读材料：若$m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0$，求$m$和$n$的值。
解：$\because m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0$，
$\therefore m^2 + 2mn + n^2 + n^2 - 6n + 9 = 0$。
$\therefore (m + n)^2 + (n - 3)^2 = 0$。
$\therefore m = -3$，$n = 3$。
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”。请利用配方法，解决下列问题：
(1)已知$x^2 + 2y^2 - 2xy - 10y + 25 = 0$，请仿照上述过程写出$x$和$y$的值；
(2)已知$\triangle ABC$的三边长$a$，$b$，$c$都是正整数，且满足$a^2 + b^2 - 2a - 6b + 10 = 0$，请判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由。

答案： 6.
(1)$\because x^{2}+2y^{2}-2xy - 10y + 25 = 0$,
$\therefore x^{2}-2xy + y^{2}+y^{2}-10y + 25 = 0$.
$\therefore (x - y)^{2}+(y - 5)^{2}=0$.
$\therefore x - y = 0,y - 5 = 0$.
$\therefore x = 5,y = 5$.
(2)$\triangle ABC$的形状是等腰三角形.
理由如下:
$\because a^{2}+b^{2}-2a - 6b + 10 = 0$,
$\therefore a^{2}-2a + 1 + b^{2}-6b + 9 = 0$.
$\therefore (a - 1)^{2}+(b - 3)^{2}=0$.
$\therefore a - 1 = 0,b - 3 = 0$.
$\therefore a = 1,b = 3$.
$\therefore 3 - 1＜c＜3 + 1$.
$\therefore 2＜c＜4$.
$\because c$是正整数,
$\therefore c = 3$.
$\therefore a = 1,b = 3,c = 3$.
$\therefore \triangle ABC$的形状是等腰三角形.

7. (1)发现：比较$4m$与$m^2 + 4$的大小(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)：
①当$m = 3$时，$4m $＜$ m^2 + 4$；
②当$m = 2$时，$4m $=$ m^2 + 4$；
③当$m = -3$时，$4m $＜$ m^2 + 4$。
(2)论证：无论$m$取何值，判断$4m$与$m^2 + 4$的大小关系，并说明理由。
(3)拓展：试通过计算比较$x^2 + 2$与$2x^2 + 4x + 6$的大小。

答案： 7.
(1)①＜ ②= ③＜
(2)无论$m$取何值,总有$4m\leq m^{2}+4$.
理由如下:
$\because (m^{2}+4)-4m = (m - 2)^{2}\geq0$,
$\therefore 4m\leq m^{2}+4$,
即无论$m$取何值,总有$4m\leq m^{2}+4$.
(3)$\because 2x^{2}+4x + 6-(x^{2}+2)$
$=x^{2}+4x + 4$
$=(x + 2)^{2}\geq0$,
$\therefore 2x^{2}+4x + 6\geq x^{2}+2$.